Obre el menú principal

Mòdul

una estructura algebraica que involucra un anell i un grup abelià; una generalització de l’estructura d’espai vectorial en la qual el cos d’escalars és substituït per un anell
Per a altres significats, vegeu «Mòdul (desambiguació)».

Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la qual el cos d'escalars és substituït per un anell.

A-mòduls per l'esquerraModifica

Sigui   un anell i   un grup abelià. El grup   té estructura de  -mòdul per l'esquerra si l'anell   opera linealment per l'esquerra sobre els elements de  , és a dir, si hi ha una operació externa de   sobre  :

 

amb les condicions de linealitat

 
 
 

per a   i  . Si, a més, l'anell té unitat, es demana que

 

A-mòduls per la dretaModifica

Si l'operació externa és per la dreta,

 

amb les corresponents condicions de linealitat:

 
 
 

aleshores es tracta d'un  -mòdul per la dreta.

A-mòduls bilàtersModifica

Si l'anell   és commutatiu, aleshores és possible la identificació  , perquè les condicions   i   ja no són contradictòries. Aleshores   té estructura de  -mòdul bilàter o, simplement, d' -mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un  -mòdul per l'esquerra.

ExemplesModifica

  • Si   és un anell, ell mateix es pot considerar com a  -mòdul de manera natural:
 
  • Els grups commutatius són  -mòduls. En efecte, si   és un grup commutatiu (notació additiva) i  , l'operació externa de   sobre   donada per:
 
dota el grup   d'una estructura de  -mòdul.
  • Els espais vectorials sobre un cos   són  -mòduls.
  • Si   és l'anell d'endomorfismes d'un  -mòdul  , l'operació externa
 
fa que   es pugui considerar un  -mòdul.
  • Si   és un anell i   n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi  , amb l'operació
 
és un  -mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot   i tot  , el producte   pertany a  .
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Mòdul