Multiplicitat

En matemàtiques, la multiplicitat d'un membre d'un multiconjunt és el nombre de vegades que aquest pertany al multiconjunt. Per exemple, aquest terme s'utilitza per referir-se al nombre de vegades que un cert polinomi té arrel en un punt determinat. La raó més habitual per considerar nocions de multiplicitat és per comptar sense especificar excepcions (per exemple, especificar que les arrels dobles es compten dues vegades). D'aquí l'expressió comptat amb multiplicitat (a vegades implícita).

En àlgebra lineal, la multiplicitat algebraica d'un valor propi λ d'una matriu A és l'ordre de λ com a zero del polinomi característic de A; en altres paraules, si λ és una de les arrels del polinomi, la multiplicitat algebraica és igual al nombre de factors (t - λ) en el polinomi característic, un cop factoritzat. Una matriu n×nn valors propis, comptats d'acord amb la seva multiplicitat algebraica, ja que el polinomi característic té grau n. Un valor propi de multiplicitat algebraica 1 rep el nom de «valor propi simple».

Multiplicitat d'un factor primerModifica

En la factorització (descomposició en producte de factors primers o factorització en nombres primer)

60 = 2 × 2 × 3 × 5

la multiplicitat de 2 és 2; la de 3 és 1, i la de 5 és 1.

Multiplicitat de l'arrel d'un polinomiModifica

Sigui   un camp i   un polinomi d'una variable amb coeficients en  . Un element  ;  s'anomena arrel de multiplicitat   de   si existeix un polinomi   tal que   ≠   i   =  . Si  , aleshores   rep el nom de arrel simple.

Per exemple el polinomi    i   com a arrels, i pot escriure's com  . Això significa que   és una arrel de multiplicitat  , i   és una arrel 'simple' (multiplicitat  ).

Multiplicitat de zero d'una funcióModifica

Sigui   un interval d'R i   una funció de   a R o C i   ∈   sigui un zero de  , per exemple, un punt tal que  . El punt   pren el nombre de zero de multiplicitat   de   si existeix un nombre real   ≠   tal que

 

De forma més general, sigui   una funció d'un subconjunt obert   d'un espai vectorial amb norma   en un espai vectorial amb norma  , i sigui   ∈   zero de  , per exemple, un punt tal que   =  . El punt   ren el nom de zero de multiplicitat   de   si existeix un nombre real   ≠   tal que

 

El punt   s'anomena zero de multiplicitat ∞ de   si par cada  , es compleix que

 

Exemple 1. Donat que

 

0 és un zero de multiplicitat 1 de la funció sinus.

Exemple 2. Donat que

 

0 és un zero de multiplicitat 2 de la funció  .

Exemple 3. Consideris la funció   de R en R tal que   i que   quan   ≠  . Aleshores, donat que

  per tot   ∈ N

0 és un zero de multiplicitat ∞ per la funció  .

En anàlisi complexaModifica

Sigui   una arrel d'una funció holomorfa  , i   l'últim enter positiu   tal que, la m-èsima derivada de   avaluada en   és diferent de zero. Aleshores la sèrie de potències de   sobre   comença amb el terme n-èsim, i   aleshores té arrel de multiplicitat (o “ordre”)  . Si  , l' arrel rep el nom d' arrel simple (Krantz 1999, p. 70).

BibliografiaModifica

  • Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.

Vegeu tambéModifica