En general, un doble pèndol és un sistema compost per dos pèndols , amb el segon penjant de l'extrem del primer. En el cas més simple, es tracta de dos pèndols simples , amb l'inferior penjant de la massa pendular del superior.
Un exemple de doble pèndol. Normalment se sobreentén que ens referim a un doble pèndol pla , amb dos pèndols plans coplanaris. Aquest sistema físic posseeix dos graus de llibertat i exhibeix un ric comportament dinàmic. El seu moviment està governat per dues equacions diferencials ordinàries acoblades. Per sobre de certa energia, el seu moviment és caòtic .
modifica
A la cinemàtica només estem interessats a trobar les expressions de la posició, la velocitat, l'acceleració i en termes de les variables que especifiquen l'estat del doble pèndol, sense interessar-nos per les forces actuants. Ens servirem de les següents coordenades:
x, i = posició horitzontal i vertical de la massa d'un pèndol θ = angle d'un pèndol respecte a la vertical (0 = vertical cap avall, antihorari és positiu) l = longitud de la vareta (constant)Associarem al pèndol superior el subíndex 1, i al de baix el subíndex 2. Posarem l'origen de coordenades en el punt de pivot del pèndol superior. El sentit de les ordenades creixents es pren cap amunt.
A partir de consideracions trigonomètriques escrivim les expressions de les posicions x 1 , i 1 , x 2 , i 2 en termes dels angulos θ 1 , θ 2 :
x
1
=
l
1
sin
θ
1
{\displaystyle x_{1}=l_{1}\sin \theta _{1}\,}
y
1
=
−
l
1
cos
θ
1
{\displaystyle y_{1}=-l_{1}\cos \theta _{1}\,}
x
2
=
x
1
+
l
2
sin
θ
2
{\displaystyle x_{2}=x_{1}+l_{2}\sin \theta _{2}\,}
y
2
=
y
1
−
l
2
cos
θ
2
{\displaystyle y_{2}=y_{1}-l_{2}\cos \theta _{2}\,}
Derivant respecte al temps obtenim:
x
˙
1
=
θ
˙
1
l
1
cos
θ
1
{\displaystyle {\dot {x}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}l_{1}\cos \theta _{1}}
y
˙
1
=
θ
˙
1
l
1
sin
θ
1
{\displaystyle {\dot {y}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}l_{1}\sin \theta _{1}}
x
˙
2
=
x
˙
1
+
θ
˙
2
l
2
cos
θ
2
{\displaystyle {\dot {x}}_{2}={\dot {x}}_{1}+{\dot {\theta }}_{2}l_{2}\cos \theta _{2}}
y
˙
2
=
y
˙
1
+
θ
˙
2
l
2
sin
θ
2
{\displaystyle {\dot {y}}_{2}={\dot {y}}_{1}+{\dot {\theta }}_{2}l_{2}\sin \theta _{2}}
I derivant una segona vegada:
x
¨
1
=
−
θ
˙
1
2
l
1
sin
θ
1
+
θ
¨
1
l
1
cos
θ
1
{\displaystyle {\ddot {x}}_{1}=-{\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}\sin \theta _{1}+{\ddot {\theta }}_{1}l_{1}\cos \theta _{1}}
y
¨
1
=
θ
˙
1
2
l
1
cos
θ
1
+
θ
¨
1
l
1
sin
θ
1
{\displaystyle {\ddot {y}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}\cos \theta _{1}+{\ddot {\theta }}_{1}l_{1}\sin \theta _{1}}
x
¨
2
=
x
¨
1
−
θ
˙
2
2
l
2
sin
θ
2
+
θ
¨
2
l
2
cos
θ
2
{\displaystyle {\ddot {x}}_{2}={\ddot {x}}_{1}-{\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}\sin \theta _{2}+{\ddot {\theta }}_{2}l_{2}\cos \theta _{2}}
y
¨
2
=
y
¨
1
+
θ
˙
2
2
l
2
cos
θ
2
+
θ
¨
2
l
2
sin
θ
2
{\displaystyle {\ddot {y}}_{2}={\ddot {y}}_{1}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}\cos \theta _{2}+{\ddot {\theta }}_{2}l_{2}\sin \theta _{2}}
Definim les variables:
T = tensió en la vareta
M = massa del pèndol
G = acceleració de la gravetat Farem servir la llei de Newton
F
=
m
a
{\displaystyle F=ma}
Sobre la massa
m
1
{\displaystyle m_{1}}
T
1
{\displaystyle T_{1}}
T
2
{\displaystyle T_{2}}
-m 1 g :
M
1
x
¨
1
=
−
T
1
sin
θ
1
+
T
2
sin
θ
2
{\displaystyle M_{1}{\ddot {x}}_{1}=-T_{1}\sin \theta _{1}+T_{2}\sin \theta _{2}}
M
1
i
¨
1
=
T
1
cos
θ
1
−
T
2
cos
θ
2
−
m
1
g
{\displaystyle M_{1}{\ddot {i}}_{1}=T_{1}\cos \theta _{1}-T_{2}\cos \theta _{2}-m_{1}g}
Sobre la massa
m
2
{\displaystyle m_{2}}
T
2
{\displaystyle T_{2}}
-m 2 g :
M
2
x
¨
2
=
−
T
2
sin
θ
2
{\displaystyle M_{2}{\ddot {x}}_{2}=-T_{2}\sin \theta _{2}}
M
2
i
¨
2
=
T
2
cos
θ
2
−
m
2
g
{\displaystyle M_{2}{\ddot {i}}_{2}=T_{2}\cos \theta _{2}-m_{2}g}
A partir de les equacions anteriors, després de realitzar nombroses operacions algebraiques amb la finalitat de trobar les expressions de
θ
1
¨
{\displaystyle {\ddot {\theta _{1}}}}
θ
2
¨
{\displaystyle {\ddot {\theta _{2}}}}
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}\,}
θ
1
˙
{\displaystyle {\dot {\theta _{1}}}\,}
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,}
θ
2
˙
{\displaystyle {\dot {\theta _{2}}}\,}
θ
¨
1
=
−
g
(
2
m
1
+
m
2
)
sin
θ
1
−
m
2
g
sin
(
θ
1
−
2
θ
2
)
−
2
sin
(
θ
1
−
θ
2
)
m
2
(
θ
˙
2
2
l
2
+
θ
˙
1
2
l
1
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
)
l
1
(
2
m
1
+
m
2
−
m
2
cos
(
2
θ
1
−
2
θ
2
)
)
{\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}={\frac {-g(2m_{1}+m_{2})\sin \theta _{1}-m_{2}g\sin(\theta _{1}-2\theta _{2})-2\sin(\theta _{1}-\theta _{2})m_{2}({\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}))}{l_{1}(2m_{1}+m_{2}-m_{2}\cos(2\theta _{1}-2\theta _{2}))}}}
θ
¨
2
=
2
sin
(
θ
1
−
θ
2
)
(
θ
˙
1
2
l
1
(
m
1
+
m
2
)
+
g
(
m
1
+
m
2
)
cos
θ
1
+
θ
˙
2
2
l
2
m
2
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
)
l
2
(
2
m
1
+
m
2
−
m
2
cos
(
2
θ
1
−
2
θ
2
)
)
{\displaystyle {\ddot {\theta }}_{2}={\frac {2\sin(\theta _{1}-\theta _{2})({\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}(m_{1}+m_{2})+g(m_{1}+m_{2})\cos \theta _{1}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}m_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}))}{l_{2}(2m_{1}+m_{2}-m_{2}\cos(2\theta _{1}-2\theta _{2}))}}}
L'energia cinètica ve expressada per:
T
=
1
2
m
1
(
x
˙
1
2
+
i
˙
1
2
)
+
1
2
m
2
(
x
˙
2
2
+
i
˙
2
2
)
=
1
2
m
1
l
1
2
θ
˙
1
2
+
1
2
m
2
[
L
1
2
θ
˙
1
2
+
L
2
2
θ
˙
2
2
+
2
l
1
l
2
θ
˙
1
θ
˙
2
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
]
{\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {i}}_{1}^{2})+{\frac {1}{2}}m_{2}({\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {i}}_{2}^{2})={\frac {1}{2}}m_{1}l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}[L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+L_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+2l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})]}
L'energia potencial:
V
=
m
1
g
y
1
+
m
2
g
y
2
=
−
(
m
1
+
m
2
)
g
l
1
cos
θ
1
−
m
2
g
l
2
cos
θ
2
{\displaystyle V=m_{1}gy_{1}+m_{2}gy_{2}=-(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos \theta _{1}-m_{2}gl_{2}\cos \theta _{2}\,}
Per tant, el moviment es regirà per la lagrangiana
L
=
T
−
V
=
1
2
(
m
1
+
m
2
)
L
1
2
θ
˙
1
2
+
1
2
m
2
l
2
2
θ
˙
2
2
+
M
2
l
1
l
2
θ
˙
1
θ
˙
2
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
+
(
m
1
+
m
2
)
g
l
1
cos
θ
1
+
m
2
g
l
2
cos
θ
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}l_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+M_{2}l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos \theta _{1}+m_{2}gl_{2}\cos \theta _{2}}
Equacions de moviment de Lagrange
modifica
Usant les equacions de Lagrange en aquest cas particular són:
d
d
t
(
∂
L
∂
θ
˙
1
)
−
∂
L
∂
θ
1
=
0
,
d
d
t
(
∂
L
∂
θ
˙
2
)
−
∂
L
∂
θ
2
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{1}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=0,\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{2}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=0}
Calculant explícitament les derivades de l'expressió anterior s'arriba a:
{
(
m
1
+
m
2
)
l
1
2
θ
¨
1
+
m
2
θ
¨
2
l
1
l
2
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
−
m
2
θ
˙
2
l
1
l
2
(
θ
˙
1
−
θ
˙
2
)
sin
(
θ
1
−
θ
2
)
+
m
2
θ
˙
1
θ
˙
2
l
1
l
2
sin
(
θ
1
−
θ
2
)
+
(
m
1
+
m
2
)
g
l
1
sin
θ
1
=
0
m
2
l
2
2
θ
¨
2
+
m
2
θ
¨
1
l
1
l
2
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
−
m
2
θ
˙
1
l
1
l
2
(
θ
˙
1
−
θ
˙
2
)
sin
(
θ
1
−
θ
2
)
−
m
2
θ
˙
1
θ
˙
2
l
1
l
2
sin
(
θ
1
−
θ
2
)
+
m
2
g
l
2
sin
θ
2
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}(m_{1}+m_{2})l_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}{\ddot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-m_{2}{\dot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}({\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2})\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})gl_{1}\sin \theta _{1}=0\\m_{2}l_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}{\ddot {\theta }}_{1}l_{1}l_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-m_{2}{\dot {\theta }}_{1}l_{1}l_{2}({\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2})\sin(\theta _{1}-\theta _{2})-m_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}gl_{2}\sin \theta _{2}=0\end{cases}}}
Aquestes són les equacions de Lagrange per a un pèndol doble on hem escollit com coordenades generalitzades les polars i en el qual hi ha dues lligadures (
L
1
{\displaystyle L_{1}}
L
2
{\displaystyle L_{2}}
Bibliografia Marion, Jerry B.. Dinàmica clàssica de les partícules i sistemes (en espanyol). Barcelona: Ed Reverté, 1996. ISBN 84-291-4094-8 
![{\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {i}}_{1}^{2})+{\frac {1}{2}}m_{2}({\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {i}}_{2}^{2})={\frac {1}{2}}m_{1}l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}[L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+L_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+2l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55646af9d549fa72264d7d45fb0d691e63c8c4d8)
