Programació geomètrica

Un programa geomètric és un problema d'optimització de la forma

Minimitzar $\ f_{0}(x)\$ tal que

$F_{i}(x)\leq 1,\quad i=1,\dots ,m$

$H_{i}(x)=1,\quad i=1,\dots ,p$

on $f_{0},\dots ,F_{m}$ són posinomis i $h_{1},\dots ,h_{p}$ són monomis. Cal subratllar que en parlar de programació geomètrica (al contrari que en altres disciplines), un monomi es defineix com una funció $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ amb $\mathrm {dg} \ f=\mathbb {R} _{++}^{n}$ definit com

$F(x)=cx_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}$

on $c>0\$ i $a_{i}\in \mathbb {R}$.

Té múltiples aplicacions, com el dimensionament de circuits i l'estimació paramètrica via regressió logística en estadística.

Forma convexa

Els programa geomètrics no són per regla general problemes d'optimització convexa, però poden transformar-se en ells mitjançant un canvi de variables i una transformació de les funcions objectiu i de restricció. Definint $y_{i}=\log {x_{i}}$, el monomi $f(x)=cx_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}\mapsto i^{a^{T}i+b}$, on $b=log{c}$. De la mateixa manera, si $f$ és el posinomi

$f(x)=\sum _{k=1}^{K}c_{k}x_{1}^{a_{1k}}\cdots x_{n}^{a_{nk}}$

llavors $f(x)=\sum _{k=1}^{K}i^{a_{k}^{T}i+b_{k}}$, on $a_{k}=(a_{1k},\dots ,a_{nk})$ i $b_{k}=\log {c_{k}}$. Després del canvi de variables, el posinomi es converteix en una suma d'exponencials de funcions afins.

Enllaços externs

• S. Boyd, S. J. Kim, L. Vandenberghe, and A. Hassibi - Optimization and Engineering, 8(1):67-127, 2007., A Tutorial on Geometric Programming
• S. Boyd, S. J. Kim, D. Patil, and M. Horowitz Digital Circuit Optimization via Geometric Programming
• Stephen P. Boyd, Seung-Jean Kim, Dinesh D. Patil, Mark A. Horowitz, Optimització de circuits via programació geomètrica.