Axioma d'Arquimedes

L'axioma d'Arquimedes va ser enunciat per Arquimedes de Siracusa en la seva obra De l'esfera i el cilindre, encara que anteriorment va ser utilitzat per Èudox de Cnidos, per la qual cosa també es coneix com a axioma d'Èudox. Originalment va ser enunciat amb segments, és a dir, donats dos segments A i B, on A de longitud menor que B, sempre és possible obtenir un segment més gran que B, traçant A un nombre suficient de vegades. Això que es fa amb longituds, s'estén al cas d'àrees, volums, magnituds i nombres positius. En ell es basa l'algorisme d'Euclides de la divisió euclidiana.

Il·lustració de la propietat arquimediana

Quan en una estructura algebraica es compleix l'axioma d'Arquímedes, es diu que aquesta estructura és arquimediana o que té la propietat arquimediana. La propietat arquimediana és important en la construcció dels nombres reals.

Exemples

• (ℕ, +, ⋅, ≤) és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℕ⁺) (∀y∈ℕ) (∃n∈ℕ⁺) (y<n⋅x).
• (ℤ, +, ⋅, ≤) és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℤ⁺) (∀y∈ℤ) (∃n∈ℕ⁺) (y<n⋅x).
• El cos ordenat i commutatiu (ℚ, +, ⋅, ≤), és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℚ⁺) (∀y∈ℚ) (∃n∈ℕ⁺) (y<n⋅x).
• El cos ordenat, commutatiu i complet (ℝ, +, ⋅, ≤), és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℝ⁺) (∀y∈ℝ) (∃n∈ℕ⁺) (y<n⋅x).

Com a exemple, demostrem això últim. En efecte, raonem per reducció a l'absurd. Suposem que (∃x∈ℝ⁺) (∃y∈ℝ) (∀n∈ℕ⁺) (y ≥ n⋅x), és a dir, el conjunt A ={x, 2x, 3x, ...} està fitat superiorment (per y). A causa de l'axioma del suprem, aquest conjunt té suprem s. Com que x>0, s-x < s, i per tant s-x ∉ CS (A), així que hi ha un element de A, a la dreta de s-x, és a dir, (∃n₀ ∈ ℕ⁺) (s-x < n₀⋅x). D'aquí, s < (n₀+1)⋅x, i com (n₀+1)⋅x∈A, es té que s no és el suprem de A (ni tan sols seria fita superior de A), en contra que sí que ho és.

Un exemple de cos no arquimedià seria ℚ_p, és a dir, el dels nombres p-àdics.

Exercici resolt

És cert que (∀x∈ℝ⁺) (∃n∈ℤ⁺) (7/(7n+1) <x)?

Això és equivalent a «(∀x∈ℝ⁺) (∃n∈ℤ⁺) (7 <(7n+1) x)». La propietat arquimediana, si y = 7, assegura (∀x∈ℝ⁺) (∃n∈ℤ⁺) (7<n⋅x), com x>0, n⋅x < (7n+1)⋅x, obtenint el resultat requerit.

Bibliografia

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Axioma d'Arquimedes

Schechter, Eric. Handbook of Analysis and its Foundations. Academic Press, 1997. ISBN 0-12-622760-8.