Quadratura de Clenshaw-Curtis

La quadratura de Clenshaw–Curtis i les quadratures de Fejer són mètodes d'integració numèrica basats en l'expansió de l'integrant en termes dels polinomis de Txebixev. Un resum breu de l'algoritme és el següent: la funció que s'ha d'integrar és avaluada als extrems o arrels dels polinomis de Txebixev i aquests valors es fan servir per construir una aproximació polinòmica de la funció; aquesta és integrada exactament per donar una aproximació de la integral exacta que busquem. El càlcul dels pesos d'integració es pot fer mitjançant una DCT, que a través de la FFT es poden obtenir amb operacions.

Introducció generalModifica

Article principal: Integració numèrica

El mètode consisteix a avaluar la funció en   nodes determinats, que anomenarem  , amb  . Llavors, el mètode es pot resumir en la següent equació:

 

on els coeficients   cal determinar-los en funció de la distribució dels nodes  .

Fórmules explícitesModifica

Es poden obtenir fórmules explícites de la quadrature de Clenshaw-Curtis i de Fejer I i II. Tot i que són poc útils a nivell computacional, ja que fan falta   operacions per calcular-los, tenen la seva importància teòrica i a nivell didàctic.

Quadratura de Clenshaw-CurtisModifica

Pel cas de la quadratura de Clenshaw-Curtis, els nodes on s'avaluarà la funció són:

 

Per altra banda, els pesos d'integració són:

 

On els coeficients   i   tenen la següent expressió:

 

ReferènciesModifica