Reducció d'ordre

Per a altres significats, vegeu «Reducció (desambiguació)».

En matemàtiques, la reducció d'ordre és una tècnica utilitzada per resoldre equacions diferencials ordinàries de segon ordre. Es fa servir quan la primera de dues solucions ($y_{1}$) és coneguda i es busca la segona ($y_{2}$).

Ús

Donada una equació diferencial

$y''+p(t)y'+q(t)y=0\,$

i una sola solució ($y_{1}(t)$), i sigui la segona solució definida per

$y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,$

on $v(t)$ és una funció arbitrària. Així,

$y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)\,$

i

$y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).\,$

Si se substitueixen per $y$, $y'$, i $y''$ a l'equació diferencial, llavors

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=0.$

Com que $y_{1}(t)$ és solució de l'equació diferencial original, $y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0$, es pot reduir a

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=0$

que és una equació diferencial de primer ordre per $v'(t)$. Dividint per $y_{1}(t)$, s'obté

$v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'=0$

i $v'(t)$ es pot trobar fent servir el mètode general. Un cop s'ha trobat $v'(t)$, s'integra i se substitueix a l'equació original per $y_{2}$:

$y_{2}=v(t)y_{1}(t).\,$

Bibliografia

• Teschl. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0. 

Referències

• (anglès) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
• (anglès) Eric W. Weisstein, Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.