Relació d'Einstein (Teoria cinètica)

A la física (en concret, en la teoria cinètica) la relació d'Einstein (també coneguda com a relació Einstein-Smoluchowski[1]) és una connexió prèviament inesperada revelada de manera independent per Albert Einstein el 1905[2] i per Marian Smoluchowski el 1906[3] en els seus treballs sobre el moviment brownià. La forma més general de l'equació és[4]

On:

  • D és la constant de difusió;
  • μ és la "mobilitat", o la relació de la velocitat de la partícula terminal a la deriva a una força aplicada μ = vd / F;
  • kB és la constant de Boltzmann;
  • T és la temperatura absoluta.

Aquesta equació és un exemple primerenc d'una relació de fluctuació- dissipació[5] .

Dos casos importants d’ús freqüent són:

(Equació de la mobilitat elèctrica, per a la difusió de partícules carregades)[6])

.

("Equació de Stokes-Einstein", per a la difusió de les partícules esfèriques mitjançant líquid de baix nombre de Reynolds).

on:

  • q és la càrrega elèctrica de la partícula
  • μq la mobilitat elèctrica de la partícula carregada
  • η és la viscositat
  • r és el radi de la partícula esfèrica

Casos especialsModifica

Equació de la mobilitat elèctricaModifica

Per a una partícula amb càrrega elèctrica q, μq és la seva mobilitat elèctrica i està relacionada amb la seva mobilitat generalitzada μ, per l'equació μ = μq / q. El paràmetre μq és la relació de la velocitat de la partícula terminal a la deriva a un camp elèctric aplicat. Per tant, l'equació en el cas d'una partícula carregada es dóna com:

 

Equació Stokes-EinsteinModifica

En el límit de baix nombre de Reynolds, la mobilitat μ és la inversa del coeficient d'arrossegament  . Una constant d'amortiment  , s'utilitza amb freqüència per al temps de relaxació impuls (temps necessari perquè el moment d'inèrcia a ser insignificant en comparació amb les quantitats de moviment aleatori) de l'objecte difusiu. Per partícules esfèriques de radi r, la llei de Stokes dóna:

 

On   és la viscositat en el medi. Així, els resultats de la relació Einstein-Smoluchowski a la relació de Stokes-Einstein:

 

En el cas de la difusió rotacional   i la fricció és i la constant de difusió rotacional   és:

 

SemiconductorModifica

En un semiconductor amb una densitat arbitrària d'estats la relació d'Einstein és[7]

 

on   és el potencial químic i p el nombre de partícules.

Prova de cas generalModifica

Aquesta és una prova en una dimensió, però és idèntica a una prova en dues o tres dimensions (només reemplaçar d / dx per  ) Essencialment la mateixa prova es troba en molts llocs, per exemple, veure Kubo.[8]

Suposem que alguna energia potencial U crea una força sobre la partícula   (per exemple, una força elèctrica). Suposem que la partícula respongui movent-se amb velocitat  . Ara suposem que hi ha un gran nombre d'aquestes partícules, amb concentració local   com una funció de la posició. Després d'algun temps, s’assoleix l’equilibri: Les partícules "s'apilen" al voltant de les àrees amb menor U, però encara en gran part s’estenen en certa manera a causa de la difusió aleatòria. En aquest punt, no hi ha flux net de partícules: La tendència de les partícules a aconseguir enredar-se a la baixa U (anomenada "deriva actual") és igual i oposada a la tendència de les partícules a estendre’s a causa de la difusió (anomenada la difusió "actual ").

El flux net de partícules a causa del corrent de deriva és només:

 

(És a dir, el nombre de partícules que flueixen més enllà d'un punt és la concentració multiplicada per la velocitat mitjana de partícules.)

El flux net de partícules a causa del corrent de difusió per si sola és, per les lleis de Fick:

 

(El signe menys significa que el flux de partícules de major concentració baixa).

L'equilibri requereix:

 

En l'equilibri, podem aplicar la termodinàmica, en particular, les estadístiques de Boltzmann, per inferir que:

 

on A és una constant relacionada amb el nombre total de partícules. Per tant, per la regla de la cadena,

 

Finalment, relacionem això amb:

 

Atès que aquesta equació s’ha de mantenir a tot arreu

 

ReferènciesModifica

  1. Introduction to Nanoscience by Stuart Lindsay, p243, google books link
  2. Einstein, A. «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen» (en alemany). Annalen der Physik, 322, 8, 1905, pàg. 549-560. Bibcode: 1905AnP...322..549E. DOI: 10.1002/andp.19053220806.
  3. von Smoluchowski, M. «Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen» (en alemany). Annalen der Physik, 326, 14, 1906, pàg. 756-780. Bibcode: 1906AnP...326..756V. DOI: 10.1002/andp.19063261405.
  4. Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology by Dill and Bromberg google books link
  5. "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics" by Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, [1]
  6. Principles of Semiconductor Devices online textbook by Van Zeghbroeck, Chapter 2.7, link
  7. Ashcroft,N. W., and Mermin, N. D.. Solid State Physics. New York (USA): Holt, Rineheart and Winston, 1988, p. 826. 
  8. Kubo, R. «The fluctuation-dissipation theorem». Rep. Prog. Phys., 29, 1966, pàg. 255–284. Bibcode: 1966RPPh...29..255K. DOI: 10.1088/0034-4885/29/1/306.