Seqüències de Beatty

En matemàtiques una seqüència de Beatty, ${\mathcal {B}}_{r}$, és una seqüència d'enters generada per la part entera dels múltiples d'un nombre irracional. És a dir: la seqüència generada pel nombre irracional $\theta$ seria:

${\mathcal {B}}_{\theta }=\lfloor \theta \rfloor ,\lfloor 2\theta \rfloor ,\lfloor 3\theta \rfloor ,\ldots$,

on el símbol $\lfloor \rfloor$ significa que només es considera la part entera del producte.

Reben el seu nom pel matemàtic canadenc Samuel Beatty qui el 1926 va demostrar que si $r$ i $s$ són dos irracionals positius tals que $1/r+1/s=1$, aleshores ${\mathcal {B}}_{1/r}$ i ${\mathcal {B}}_{1/s}$ son una partició de $\mathbb {N}$.

Exemples

Per a $r={\sqrt {3}}=1,732050808...$ tindríem ${\frac {1}{r}}=0,57735026919...$ i ${\frac {1}{s}}=0,42264973081...$ i les seqüències que es generen al multiplicar aquests dos nombres pels naturals i arrodonint els decimals a la baixa són:

• Per ${\frac {1}{r}}$: $1,3,5,6,8,10,12,13,15,17,19,20,22,24,25,27,29,31,32,34,26,38,39,41,43,45,46...$
• Per ${\frac {1}{s}}$: $2,4,7,9,11,14,16,18,21,23,26,28,20,33,25,37,40,42,44,47,...$

De tal forma que tot nombre natural pertany necessàriament a una de les dues seqüències però no a les dues.

Es poden trobar més exemples, fetes amb altres nombres irracionals, al OEIS.

Història

Aquesta propietat ja havia estat observada el 1877 pel físic anglès lord Rayleigh en estudiar els harmònics d'una corda vibratòria. Per això a aquest teorema se'l coneix indistintament com teorema de Rayleigh o teorema de Beatty. El problema va ressorgir el 1959 en el marc de la competició Putnam de matemàtiques.

Bibliografia

• Havil, Julian. The Irrationals (en anglès). Princeton University Press, 2016. ISBN 978-0-691-14342-2. 
• Kimberling, Clark; Stolarsky, Kanneth B. «Slow Beatty Sequences, Devious Convergence, and Partitional Divergence» (en anglès). The American Mathematical Monthly, Vol. 123, Num. 3, 2016, pàg. 267-273. DOI: 10.4169/amer.math.monthly.123.3.267. ISSN: 0002-9890.
• Technau, Marc. On Beatty sets and some generalisations thereof (en anglès). Würzburg University Press, 2018. ISBN 978-3-95826-088-7. 

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W. «Beatty Sequence». MathWorld--A Wolfram Web Resource, 2020. [Consulta: 25 març 2020]. (anglès)
• «Beatty Sequences». OEIS. [Consulta: 25 març 2020]. (anglès)