Tall de Dedekind

En matemàtiques, un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat $E$ és una parella (A,B) de subconjunts de $E$, que formen una partició de E, i on tot element de $A$ és més petit que tot element de $B$.

Un tall de Dedekind separa el conjunt dels nombres racionals en dos subconjunts: aquells que el seu quadrat és més petit que 2 i aquells que el seu quadrat és més gran que 2. Aquest tall es pot identificar amb el nombre irracional ${\sqrt {2}}$. El conjunt dels talls de Dedekind es pot fer servir per construir el conjunt dels nombres reals a partir dels nombres racionals.

De certa manera, aquest tall conceptualitza alguna cosa que es trobaria «entre» $A$ i $B$, però que no ha de ser per força un element de $E$.

Els talls de Dedekind van ser introduïts per Richard Dedekind com a mitjà de construcció del conjunt dels nombres reals (presentant de manera formal el que es troba «entre» els nombres racionals).

Definició

Un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat $E$ es defineix per una parella (A,B), on $A\subset E$ i $B\subset E$, tals que:

1. $A\neq \emptyset ,B\neq \emptyset$
2. $A\cap B=\emptyset$#$A\cup B=E$
3. $\forall x\in A,\forall y\in B,x<y$

Els punts 1, 2 i 3 diuen que $A$ i $B$ constitueixen una partició de $E$. Per tant, la definició d'un determina completament l'altre.

El punt 4 formula la partició dels elements de $E$ en aquestes dues parts. Es pot demostrar que aquest punt equival a:

• $\forall x\in E,(a\in A\land x\leq a\Rightarrow x\in A)$ i
• $\forall y\in E,(b\in B\land y\geq b\Rightarrow y\in B)$.

Exemples

Construcció dels nombres reals

Si $E=\mathbb {Q}$, el conjunt dels nombres racionals, es pot considerar el tall següent:

$A=\{a\in \mathbb {Q} |a^{2}<2\lor a\leq 0\}$

$B=\{b\in \mathbb {Q} |b^{2}\geq 2\land b>0\}$

Aquest tall permet representar el nombre irracional ${\sqrt {2}}$ que aquí es defineix alhora pel conjunt nombres racionals que són més petits i pel dels nombres racionals que són més grans.

La presa en consideració de tots els talls de Dedekind sobre $\mathbb {Q}$ permet una construcció del conjunt dels nombres reals $\mathbb {R}$ (vegeu l'article Construcció dels nombres reals).

Ordre sobre els talls de Dedekind

Siguin $(A,B)$ i $(C,D)$ dos talls de Dedekind de $E$. Es defineix un ordre sobre el conjunt dels talls de Dedekind de $E$ posant:

$(A,B)<(C,D)\Leftrightarrow A\subset C$.

Es pot demostrar que el conjunt dels talls de Dedekind de $E$ proveït d'aquest ordre posseeix la propietat de la fita superior, fins i tot si $E$ no la posseeix. Submergint $E$ en aquest conjunt, se'l perllonga en un conjunt del que tota subclasse afitada posseeix un suprem.

Vegeu també

• Nombre real
• Construcció dels nombres reals
• Successió de Cauchy