Tensió (mecànica)

En física i enginyeria, la tensió mecànica és valor de la distribució de forces per unitat d'àrea, en l'entorn d'un material i dins d'un cos o un medi continu. Etimològicament ve del llatí tensio, -onis i es pot definir com l'acció o l'efecte de tibar o estirar fins a la rigidesa. La tensió és una força de reacció aplicada per una corda estirada (una corda o un objecte similar) als objectes que l'estiren. La direcció de la força de tensió és paral·lela a la corda.

Tensió

Tensions en un cos deformable assumit com a continu.
Símbol	σ
Unitats	pascal (Pa)
Derivacions a partir d'altres quantitats	σ = F / A

La tensió existeix també dins de la corda mateixa: si es considera que la corda es compon de dues parts, la tensió és la força que les dues parts de la corda apliquen l'una en l'altra. La quantitat de tensió a la corda determina si es trencarà, així com les seves propietats vibratòries que s'utilitzen en instruments musicals.

La magnitud de la força de tensió augmenta de manera típica amb la quantitat d'estirament. En molts materials, quan l'estirament és petit, la força és proporcional a l'estirament (Llei de Hooke).

Tensió uniaxial

Un cas particular és el de la tensió uniaxial, que es defineix en una situació en la qual s'aplica una força F uniformement distribuïda sobre una àrea A. En aquest cas la tensió mecànica uniaxial es representa per un escalar designat amb la lletra grega σ (sigma) i ve donada per:

$\sigma =F/A\,$

Sent les unitats [Pa] (pascal = [N/M²]), [MPa] =1000000 [Pa] (i també [kp/cm²]).

La situació anterior pot estendre's a situacions més complicades amb forces no distribuïdes uniformement en l'interior d'un cos de geometria més o menys complexa. En aquest cas la tensió mecànica no pot ser representada per un escalar.

Si es considera un cos sotmès a tensió i s'imagina un tall mitjançant un pla imaginari que el divideixi en dos, sobre cada punt del pla de tall es pot definir un vector tensió t que depèn de l'estat tensional intern del cos, de les coordenades del punt escollit i del vector normal n. En aquest cas es pot provar que t i n estan relacionats per una aplicació lineal T o camp tensorial anomenat tensor tensió:

${t_{\pi }}={T(n_{\pi })}\,$

Problemes unidimensionals

La idea original de tensió es va originar en dues simples observacions sobre el comportament de cables d'acer:

1. Quan un cable s'estira sota l'acció d'una força F, per a valors sota de cert límit F < Fc, s'observa que l'allargament ΔL és proporcional a la càrrega F dividida per l'àrea de la secció transversal A del cable. Si es definia s = F/A, l'allargament L era proporcional a σ: L= k·s.
2. La fallada en la resistència del cable succeïa quan la càrrega F superava un cert valor Fc que depenia del material del cable i de l'àrea de la secció transversal: Fc = σt A.

Aquestes observacions suggerien que la característica fonamental que afecta a la deformació i la fallada en la resistència dels materials és la magnitud s, que es va anomenar "tensió enginyeril". Mesures més precises van fer notar que la proporcionalitat entre tensió enginyeril i l'allargament no era exacta perquè durant l'estirada del cable la secció patia un estrenyiment, per la qual cosa A disminuïa lleugerament. Tanmateix, si es definia la tensió real σ = F/A' on A' representa ara l'àrea verdadera sota la deformació, llavors s'observava una proporcionalitat perfecta per a valors més petits de F.

El coeficient de Poisson es va introduir per mostrar la relació entre l'àrea inicial A i l'àrea deformada A'. La introducció del coeficient de Poisson en els càlculs estimava correctament la tensió en tenir en compte que la força F es distribuïa en una àrea una mica més petita que la secció inicial, el qual fa que σ > s.

Principi de Cauchy

Sigui $B\,$, un medi continu deformat, llavors en cada subdomini $V\subset B\,$, camp vectorial $t\,$,, anomenat camp de tensions, de manera que les forces de volum $f\in \mathbb {R} ^{3}$ i el camp de tensions $t\in \mathbb {R} ^{3}$ satisfan les següents equacions d'equilibri:

$\int _{V}f(\mathbf {x} )dV+\int _{\partial V}t(\mathbf {x} ,n)dA=0$

$\int _{V}\mathbf {x} \times f(\mathbf {x} )dV+\int _{\partial V}\mathbf {x} \times t(\mathbf {x} ,n)dA=0$

Aquest principi va ser enunciat per Augustin Louis Cauchy en la seva forma més general, encara que prèviament Leonhard Euler havia fet una formulació menys general. D'aquest principi pot demostrar-se el teorema per al tensor tensió que postula que el principi de Cauchy equival a l'existència d'una aplicació lineal, anomenada tensor tensió $T\in C^{1}(B,\mathbb {R} ^{3})$ amb les següents propietats:

1. $t(\mathbf {x} ,n)=[T(\mathbf {x} )](n),$
2. $divT(\mathbf {x} )+f(\mathbf {x} )=0,$
3. $T(\mathbf {x} )=T^{T}(\mathbf {x} )$
   

Tensió normal i tensió tangencial

Si ens fixem en un punt concret d'un cos sotmès a tensió i s'imagina un tall mitjançant un pla imaginari que el divideixi en dos, queda definit un vector tensió t_π que depèn de l'estat tensional intern del cos, de les coordenades del punt escollit i del vector normal n_π en relació al pla definit mitjançant el tensor tensió:

${\mathbf {t} _{\pi }}={T(\mathbf {n} _{\pi })}\,$

Usualment aquest vector pot descompondre's en dos components que físicament produeixen efectes diferents segons que el material sigui més dúctil o més fràgil. Aquests dos components s'anomenen components intrínsecs del vector tensió respecte al pla i s'anomenen "tensió normal" o perpendicular al pla i "tensió tangencial" o rasant al pla, aquests components venen donats per:

${\begin{cases}\sigma _{\pi }=\mathbf {t} _{\pi }\cdot \mathbf {n} _{\pi }\\\tau _{\pi }=||\mathbf {t} _{\pi }\times \mathbf {n} _{\pi }||\end{cases}}\Rightarrow \qquad ||\mathbf {t} _{\pi }||^{2}=\sigma _{\pi }^{2}+\tau _{\pi }^{2}$

Anàlogament quan existeixen dos sòlids en contacte i s'examinen les tensions entre dos punts dels dos sòlids, es pot fer la descomposició anterior de la tensió de contacte segons el pla tangent a les superfícies d'ambdós sòlids, en aquest cas la tensió normal té relació amb la pressió perpendicular a la superfície i la tensió tangencial la té amb les forces de fricció existents entre ambdós.

Unitats

La unitat del Sistema Internacional d'Unitats per a la tensió és el pascal, la mateixa que per a la pressió. Atès que el pascal és molt petit, les quantitats usades en enginyeria es mesuren habitualment en megapascals (MPa) o gigapascals (Gpa).

Bibliografia

• Luis Ortiz Berrocal: Resistencia de materiales, Ed. McGraw-Hill/Interamericana de España, Madrid, 1990.
• Dietrich Braess: Finite Element, pp.250-251, Cambridge University Press, Cambridge UK, 1997.
• Dieter, G. E. (3 ed.). (1989). Mechanical Metallurgy. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8.
• Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.
• Marsden, J. E., & Hughes, T. J. R. (1994). Mathematical Foundations of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-67865-2.

Enllaços externs

• Stress analysis, Wolfram Research Arxivat 2006-09-03 a Wayback Machine.
• ESDU Stress Analysis Methods
• True stress and true strain Arxivat 2008-04-30 a Wayback Machine.
• Stress-Strain Curve for Ductile Material Arxivat 2008-05-01 a Wayback Machine.