Teorema de Fermat (punts estacionaris)

Aquest article es refereix al teorema de Fermat per als punts estacionaris, vegeu aquí: l'Últim teorema de Fermat

El teorema de Fermat és un teorema d'anàlisi matemàtica, anomenat així en honor de Pierre de Fermat. Dona un mètode per a trobar els màxims i mínims locals de les funcions derivables.[1] El teorema estableix que cada extrem local és un punt estacionari de la funció (la funció derivada val zero en aquest punt). Per tant, emprant el teorema de Fermat, el problema de trobar els extrems locals d'una funció es redueix al problema de resoldre una equació.

La derivada s'anul·la en els màxims i mínims locals, per la qual cosa la tangent és horitzontal.

És important aclarir que el teorema de Fermat només dona una condició necessària perquè un punt sigui extrem local. És a dir, alguns punts estacionaris, no són extrems (hi ha punts d'inflexió). Per a verificar si un punt estacionari és un extrem local i saber si es tracta d'un màxim o d'un mínim cal analitzar la derivada segona i de vegades les derivades d'ordre superior (si existeixen).

Teorema de FermatModifica

El teorema de Fermat s'expressa com:[2][3]

Sigui   una funció i sigui   un extrem local de  . Si   és derivable a   llavors  .


Applicació a l'optimitzacióModifica

Vegeu també: màxims i mínims

Com a corol·lari, un extrem global d'una fuinció f en un domini A només pot ser: a les fronteres, als punts no derivables o als punts estacionaris. Si   és un extrem global de f, llavors alguna de les següents afirmacions és certa:

  • frontera:   és a la frontera de A
  • no derivable: f no és derivable a  
  • punt estacionari:   és un punt estacionari de f

DemostracióModifica

Se suposarà que   és un màxim local (una demostració similar es pot fer si   és un mínim local). Llavors   tal que   i tal que es té   amb  . Per tant, per a qualsevol   es compleix que

 

Com que el límit d'aquesta fracció quan   tendeix a 0 per l'esquerra existeix i és igual a   s'arriba a la conclusió de què  . Per altra banda quan   es compleix que

 

Altre cop el límit quan   tendeix a zero per l'esquerra existeix i és igual a   per tant resulta que  .

En conclusió ha de ser  .

ReferènciesModifica

  1. «Teorema de Fermat» (en castellà), 31-03-2016. [Consulta: 27 desembre 2018].
  2. Abdou Kouider Ben-Naoum «[Teorema de Fermat (punts estacionaris), p. 107, a Google Books Analyse - Premières notions fondamentales]». Presses universitaires de Louvain, 2007, pàg. 107..
  3. «Fonctions d'une variable réelle : Dérivabilité». Wikiversity.

Vegeu tambéModifica