Teorema de Meyers-Serrin

En anàlisi funcional, el teorema de Meyers-Serrin consisteix en l'equivalència de dues definicions diferents dels espais de Sóbolev. El seu enunciat és

[1] · [2]

DefinicionsModifica

Les notacions són les que s'usen en l'article espai de Sóbolev.

Sigui Ω un conjunt obert qualsevol (no buit) de  , dos conceptes que s'utilitzen sovint en la teoria de les equacions diferencials en derivades parcials i en el càlcul de variacions són els espais H i els espais W.

Més precisament, si   és un nombre natural,   és un nombre real tal que   i   és un multi-índex, llavors

 

proveït de la norma:

 

on   és una derivada parcial de   en el sentit de les distribucions i

  designa la norma de l'espai de Lebesgue  .

  • '  és l'adherència dins de   de  .
 

amb

 

on   és una derivada parcial de   en el sentit clàssic ( ).

ObservacióModifica

Abans de la publicació del teorema, la igualtat H = W era demostrada per certs conjunts oberts Ω (que satisfessin certes propietats de regularitat).[3]

ReferènciesModifica

  1. Per una demostració, vegi's Jaques Deny; Jacques-Louis Lions «Les espaces du type de Beppo Levi» (en francès). Annales de l'Institut Fourier, 5, 1954, pàg. 305-370. Meyers, Norman G.; Serrin, James (en anglès) H = W, 51. o Laurent Landry. «Les espaces de Sobolev».  PDF
  2. Es té el mateix resultat si se substitueix, a la definició de   per  : cf. Adams, Robert A. Academic Press. Sobolev Spaces (en anglès), 2003. ISBN 978-0-12044143-3. 
  3. Vegi's, per exemple, Agmon, Schmuel Agmon. Lectures on Elliptic Boundary Value Problems (en anglès). Princeton: D. Van Nostrand, 1965, p. 11.