Teorema de Rouché-Frobenius

(S'ha redirigit des de: Teorema de Rouché-Frobënius)

En matemàtiques, es coneix com a Teorema de Rouché-Frobenius (pels matemàtics Eugène Rouché i Ferdinand Georg Frobenius), un teorema que estableix la condició d'existència de solucions en els sistemes d'equacions lineals. També rep els noms de teorema de Kronecker-Capelli, de Rouché-Capelli o de Rouché-Fontené.

DefinicióModifica

Sigui el sistema lineal d'equacions

 

amb, respectivament, matriu del sistema i matriu ampliada

 

i sistema homogeni associat

 

Es coneix com a teorema de Rouché-Frobenius el conjunt de les següents proposicions sobre sistemes d'equacions lineals:

  • El sistema   és compatible, és a dir, té solució, si, i només si, la matriu del sistema i la matriu ampliada tenen el mateix rang, això és,

 

  • Si el sistema   és compatible, aleshores la solució general del sistema s'obté tot sumant a una solució particular la solució general del sistema homogeni associat  .

Precisions complementàriesModifica

Com que, si   (el nombre d'incògnites), el sistema homogeni associat només té la solució trivial

 

resulta que el sistema  , en cas de ser compatible, és determinat, és a dir, amb solució única, si, i només si,  . Si  , aleshores la solució de   no és única i el sistema es diu indeterminat.

Si el cos al qual pertanyen tant coeficients com incògnites és infinit, el cas dels nombres racionals,  , i les seves extensions algebraiques, dels nombres reals,  , o dels nombres complexos,  , aleshores els nombre de solucions d'un sistema lineal indeterminat és infinit.

JustificacióModifica

Quant a la primera afirmacióModifica

La primera de les afirmacions del teorema resulta òbvia si tenim en compte que, si en afegir la columna

 

dels termes independents a la matriu   del sistema, el rang no varia, això és perquè el vector columna de termes independents,  , no és linealment independent dels vectors columna de coeficients,

 

i, per tant, hi ha   que fan

 

i el sistema   té solució. En canvi   implica la independència lineal del vector   i, per tant, la no existència dels escalars  , és a dir, la no existència de solucions.

Quant a la segona afirmacióModifica

La segona de les afirmacions del teorema també resulta immediata després de considerar que, si

 

és una solució del sistema   i

 

també ho és, aleshores

 

és una solució del sistema homogeni  .

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica