El teorema de Wilson, atribuït a John Wilson (1741-1793), però demostrat per Lagrange el 1771,[1] estableix que, el nombre enter
és primer si, i només si,
això és, si i només si,
és divisible entre
.
El teorema de Wilson recull el fet que
és primer si, i només si, l'anell
és íntegre (i, per ser finit, un cos). Aleshores, com que tant
com
són els únics elements que són inversos de si mateixos, el producte
conté
parelles d'elements amb el seu invers. En conseqüència,
- Si
no és primer i
amb, posem,
, com que
, és clar que, a
, s'esdevé que
i, per tant,
.
- Si
no és primer, però és la potència
d'un nombre primer
, aleshores, excepte el cas
, el nombre de vegades que apareix el factor
a
no és inferior a
. En conseqüència, també
.
![{\displaystyle (4-1)!=3!=6\equiv 2\neq -1\ ({\hbox{mod}}\ 4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e82d77c0e0ad618acc629f27fe31f2495164b213)