Teorema de la bisectriu

El teorema per a bisectrius interiors

El teorema de la bisectriu relaciona els costats d'un angle d'un triangle i els dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat:

Enunciat

Els costats d'un angle d'un triangle són proporcionals als dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat.

Concreció en una figura

A la figura, la bisectriu $b$ de l'angle ${\widehat {A}}$ del triangle $\triangle ABC$ determina un punt $M$ en el costat $BC$ pel qual

${\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {MB}}{\overline {MC}}}$

Demostració

Pel vèrtex $B$ del triangle $\triangle ABC$ tirem una recta paral·lela a la bisectriu $b$, que talla la recta que conté el costat $AC$ en el punt $X$. Tenim dues rectes, $CX$ i $CB$ tallades per dues rectes paral·leles $AM$ i $XB$. Aleshores hi ha aquestes igualtats d'angles: ${\widehat {MAC}}={\widehat {BXC}}=\alpha$ perquè són angles corresponents, i ${\widehat {BAM}}={\widehat {ABX}}=\beta$ perquè són angles alterns interns Però, com que $AM$ és la bisectriu de l'angle ${\widehat {A}}={\widehat {BAC}}$, resulta $\alpha =\beta$ i el triangle $\triangle BAX$ és un triangle isòsceles. Per tant, ${\overline {AB}}={\overline {AX}}$.

D'altra banda, per ser $AM$ i $XB$ paral·lels, del teorema de Tales se'n dedueix:

${\frac {\overline {AX}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {MB}}{\overline {MC}}}$

o sigui,

${\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {MB}}{\overline {MC}}}$

com volíem demostrar.

El teorema per a bisectrius exteriors

Per a bisectrius exteriors d'un triangle hi ha un enunciat del tot paral·lel:

Enunciat

Els costats d'un angle d'un triangle són proporcionals als dos segments què una bisectriu exterior d'aquest angle determina en el costat oposat.

Concreció en una figura

A la figura, la bisectriu $b'$ de l'angle ${\widehat {A}}$ del triangle $\triangle ABC$ determina un punt $M$ en el costat $BC$ pel qual

${\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {M'B}}{\overline {M'C}}}$

Demostració

Com abans, pel vèrtex $B$ del triangle $\triangle ABC$ tirem una recta paral·lela a la bisectriu $b'$, que talla el costat $AC$ en el punt $X$. Tenim dues rectes, $CA$ i $CM'$ tallades per dues rectes paral·leles $AM'$ i $XB$. Aleshores hi ha aquestes igualtats d'angles: ${\widehat {AXB}}={\widehat {YAM'}}=\alpha$ perquè són angles corresponents, i ${\widehat {M'AB}}={\widehat {XBA}}=\beta$ perquè són angles alterns interns Però, com que $AM'$ és la bisectriu de l'angle ${\widehat {YAB}}$, resulta $\alpha =\beta$ i el triangle $\triangle BAX$ és un triangle isòsceles. Per tant, ${\overline {AB}}={\overline {AX}}$.

D'altra banda, per ser $AM'$ i $XB$ paral·lels, del teorema de Tales se'n dedueix:

${\frac {\overline {AX}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {M'B}}{\overline {M'C}}}$

o sigui,

${\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {M'B}}{\overline {M'C}}}$

com volíem demostrar.

Vegeu també

• Circumferència d'Apol·loni

Bibliografia

1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
2. Grané Manlleu, Josep (Ed.). Sessions de preparació per a l'Olimpíada Matemàtica. 2a edició. Barcelona: Societat Catalana de Matemàtiques, 2004. ISBN 84-7283-755-6. 
3. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en castellà). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 
4. Xambó Descamps, Sebastià. Geometria. 2a edició. Barcelona: Edicions UPC, 2001. ISBN 84-8301-511-0. 

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Angle Bisector Theorem» a MathWorld (en anglès).