Teorema de la bisectriu

El teorema per a bisectrius interiorsModifica

El teorema de la bisectriu relaciona els costats d'un angle d'un triangle i els dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat:

EnunciatModifica

Els costats d'un angle d'un triangle són proporcionals als dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat.

Concreció en una figuraModifica

A la figura, la bisectriu   de l'angle   del triangle   determina un punt   en el costat   pel qual

 

DemostracióModifica

Pel vèrtex   del triangle   tirem una recta paral·lela a la bisectriu  , que talla la recta que conté el costat   en el punt  . Tenim dues rectes,   i   tallades per dues rectes paral·leles   i  . Aleshores hi ha aquestes igualtats d'angles:   perquè són angles corresponents, i   perquè són angles alterns interns Però, com que   és la bisectriu de l'angle  , resulta   i el triangle   és un triangle isòsceles. Per tant,  .

D'altra banda, per ser   i   paral·lels, del teorema de Tales se'n dedueix:

 

o sigui,

 

com volíem demostrar[1].

El teorema per a bisectrius exteriorsModifica

Per a bisectrius exteriors d'un triangle hi ha un enunciat del tot paral·lel:

EnunciatModifica

Els costats d'un angle d'un triangle són proporcionals als dos segments què una bisectriu exterior d'aquest angle determina en el costat oposat.

Concreció en una figuraModifica

A la figura, la bisectriu   de l'angle   del triangle   determina un punt   en el costat   pel qual

 

DemostracióModifica

Com abans, pel vèrtex   del triangle   tirem una recta paral·lela a la bisectriu  , que talla el costat   en el punt  . Tenim dues rectes,   i   tallades per dues rectes paral·leles   i  . Aleshores hi ha aquestes igualtats d'angles:   perquè són angles corresponents, i   perquè són angles alterns interns Però, com que   és la bisectriu de l'angle  , resulta   i el triangle   és un triangle isòsceles. Per tant,  .

D'altra banda, per ser   i   paral·lels, del teorema de Tales se'n dedueix:

 

o sigui,

 

com volíem demostrar.

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. Puig Adam, 1972, p. 142.

BibliografiaModifica

  1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
  2. Grané Manlleu, Josep (Ed.). Sessions de preparació per a l'Olimpíada Matemàtica. 2a edició. Barcelona: Societat Catalana de Matemàtiques, 2004. ISBN 84-7283-755-6. 
  3. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en espanyol). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 
  4. Xambó Descamps, Sebastià. Geometria. 2a edició. Barcelona: Edicions UPC, 2001. ISBN 84-8301-511-0. 

Enllaços externsModifica