Teorema de la tangent

En trigonometria, el teorema de la tangent és una fórmula que relaciona les longituds dels tres costats d'un triangle i les tangents dels seus angles.

Fig. 1 - Un triangle.

A la Figura 1, a, b, i c són les longituds dels tres costats del triangle, i α, β, i γ són els angles oposats a aquestes tres cares respectivament. El teorema de la tangent estableix que

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

Tot i que el teorema de la tangent no és tan conegut com el teorema del sinus o el teorema del cosinus, és exactament igual d'útil, i es pot fer servir en qualsevol dels casos on es coneixen dos costats i un angle o quan es coneixen dos angles i un costat.

Demostració

Per a demostrar el teorema de la tangent es pot començar amb el teorema del sinus:

${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}.$

Anomenant q al resultat d'aquest quocient, es té $a\,=\,q\sin \alpha$, $b\,=\,q\sin \beta$, per tant

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {q\sin \alpha -q\sin \beta }{q\sin \alpha +q\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.$

Fent servir la fórmula de Simpson

$\sin(x)+\sin(y)=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)\;$

amb $x\,=\,\alpha$ i $y\,=\,\pm \beta$ s'obté

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}}={{\tan {\alpha -\beta \over 2}} \over {\tan {\alpha +\beta \over 2}}}.$

Vegeu també

• Teorema del sinus
• Teorema del cosinus