Teorema de substitució de Steinitz

El teorema de substitució de Steinitz és un teorema bàsic en l'àlgebra lineal utilitzat, per exemple, per demostrar que dues bases d'un mateix espai vectorial de dimensió finita tenen el mateix nombre d'elements. El teorema pren el nom del matemàtic alemany Ernst Steinitz. Sovint també s'anomena teorema de substitució de Steinitz-Mac Lane en reconeixement a la generalització[1] duta a terme per Saunders Mac Lane al teorema de matroides.[2]

Motivació modifica

El teorema de substitució de Steinitz estableix que si

 

és una base d'un espai vectorial   i

 

és un conjunt finit de vectors de   linealment independent, aleshores hom pot substituir   vectors de   per sengles vectors de   per obtenir una altra base de  .

Conseqüències modifica

El teorema de substitució de Steinitz és la premissa fonamental que serveix per deduir que totes les bases d'un mateix espai vectorial tenen el mateix nombre d'elements, nombre que es coneix com a dimensió de l'espai en qüestió. A més, és la justificació teòrica del mètode de reducció de Gauss.

El teorema també s'utilitza per a la substitució de vectors d'una base per altres vectors linealment independents de l'espai vectorial de dimensió finita.

Demostració modifica

Com que els vectors de   són linealment independents, cap d'ells és nul. Podem procedir per inducció sobre  . Si  , el vector  , que no és nul, expressat en la base  , és

 

amb almenys un coeficient  . Aleshores, podem aïllar  :

 

i és clar que qualsevol vector que sigui combinació lineal dels vectors de la base  , és a dir, tots els de l'espai vectorial, ho és dels elements del conjunt

 

que és la base   després de suprimir-hi el vector   i afegir-li el vector  .

Però aquest conjunt,  , també és linealment independent. En efecte, de

 

resulta

 

o sigui,

 

que, per la independència lineal dels vectors de  , implica  , o sigui,   perquè, per hipòtesi,  . Aleshores queda

 

que implica

 

i els vectors de   són linealment independents, cosa que fa que   sigui una base de l'espai  , com volíem demostrar.

Suposem ara la propietat certa per a  . Això vol dir que disposem de la base

 

obtinguda a partir de la base original,  , després de substituir-hi   vectors pels vectors linealment independents  . Si ara disposem d'un altre vector,  , de manera que el conjunt

 

sigui linealment independent, podrem, segons ja sabem, substituir algun vector de   pel vector   per obtenir encara una altra base,   de  . A més, és possible fer la substitució de manera que cap dels vectors   sigui el vector substituït, sinó algun dels que queden dels originals. En efecte, com que   és una base de  , hi podem expressar el vector  :

 

amb algun dels coeficients del sumatori de la dreta,  , no nul, ja que si ho fossin tots, el conjunt   no seria linealment independent. Aleshores, la substitució

 

és una altra base de  . Això és perquè, com que  ,

 

qualsevol vector que sigui combinació lineal dels vectors de  , és a dir, tots, també ho és dels de  . A més, si

 

o sigui,

 

és a dir,

 

la independència lineal dels vectors de   obliga a que   i, com que  , a que  . Ara queda

 

i, novament, la independència lineal imposa

 

que, amb la ja establerta  , implica la independència lineal dels vectors de  , que és, en conseqüència, una altra base.

Referències modifica

  1. Mac Lane, Saunders «Some interpretations of abstract linear dependence in terms of projective geometry». American Journal of Mathematics. The Johns Hopkins University Press, 58, 1, 1936, p. 236–240. DOI: 10.2307/2371070.
  2. A Source Book in Matroid Theory. Boston: Birkhäuser, 1986. ISBN 0-8176-3173-9. .