A
x
2
+
2
B
x
y
+
C
y
2
+
2
D
x
+
2
E
y
+
F
=
0
{\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0}
Còniques amb centre
modifica
Si l'equació de la cònica és homogènia , això és, de la forma
A
x
2
+
2
B
x
y
+
C
y
2
+
F
=
0
{\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+F=0}
aleshores, el punt
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
(
−
x
,
−
y
)
{\displaystyle (-x,-y)}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
x
=
x
′
−
α
y
=
y
′
−
β
{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x&=x'-\alpha \\y&=y'-\beta \end{alignedat}}}
que transformi l'equació general en una equació homogènia. Ha de ser:
A
(
x
′
−
α
)
2
+
2
B
(
x
′
−
α
)
(
y
′
−
β
)
+
C
(
y
′
−
β
)
2
+
2
D
(
x
′
−
α
)
+
2
E
(
y
′
−
β
)
+
F
=
0
{\displaystyle A(x'-\alpha )^{2}+2B(x'-\alpha )(y'-\beta )+C(y'-\beta )^{2}+2D(x'-\alpha )+2E(y'-\beta )+F=0}
que, després d'operar dóna:
A
x
′
2
+
2
B
x
′
y
′
+
C
y
′
2
−
2
(
A
α
+
B
β
−
D
)
x
′
−
2
(
B
α
+
C
β
−
E
)
y
′
+
A
α
2
+
2
B
α
β
+
C
β
2
−
2
D
α
−
2
E
β
+
F
=
0
{\displaystyle Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}-2(A\alpha +B\beta -D)x'-2(B\alpha +C\beta -E)y'+A\alpha ^{2}+2B\alpha \beta +C\beta ^{2}-2D\alpha -2E\beta +F=0}
El punt
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
{
A
α
+
B
β
=
D
B
α
+
C
β
=
E
{\displaystyle \left\{{\begin{alignedat}{1}A\alpha +B\beta &=D\\B\alpha +C\beta &=E\end{alignedat}}\right.}
amb solució única si
|
A
B
B
C
|
=
A
C
−
B
2
≠
0
{\displaystyle \left|{\begin{array}{cc}A&B\\B&C\end{array}}\right|=AC-B^{2}\neq 0}
Amb discriminant no nul
modifica
La quantitat
Δ
=
A
C
−
B
2
{\displaystyle \Delta =AC-B^{2}}
discriminant de la cònica i el seu signe en determina el caràcter. De moment,
Δ
=
A
C
−
B
2
≠
0
{\displaystyle \Delta =AC-B^{2}\neq 0}
A
α
2
+
2
B
α
β
+
C
β
2
−
2
D
α
−
2
E
β
+
F
=
F
′
{\displaystyle A\alpha ^{2}+2B\alpha \beta +C\beta ^{2}-2D\alpha -2E\beta +F=F'}
A
x
′
2
+
2
B
x
′
y
′
+
C
y
′
2
+
F
′
=
0
{\displaystyle Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}+F'=0}
Amb discriminant nul
modifica
Si
Δ
=
A
C
−
B
2
=
0
{\displaystyle \Delta =AC-B^{2}=0}
Si
Δ
=
A
C
−
B
2
=
0
{\displaystyle \Delta =AC-B^{2}=0}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle C}
B
{\displaystyle B}
2
D
x
+
2
E
y
+
F
=
0
{\displaystyle 2Dx+2Ey+F=0}
|
A
D
B
E
|
=
A
E
−
B
D
=
|
B
D
C
E
|
=
B
E
−
C
D
=
0
{\displaystyle \left|{\begin{array}{cc}A&D\\B&E\end{array}}\right|=AE-BD=\left|{\begin{array}{cc}B&D\\C&E\end{array}}\right|=BE-CD=0}
Per a
A
≠
0
{\displaystyle A\neq 0}
C
=
B
2
A
{\displaystyle C={\dfrac {B^{2}}{A}}}
A
x
′
2
+
2
B
x
′
y
′
+
B
2
A
y
′
2
+
F
′
=
0
{\displaystyle Ax'^{2}+2Bx'y'+{\dfrac {B^{2}}{A}}y'^{2}+F'=0}
o sigui
0
=
A
2
x
′
2
+
2
A
B
x
′
y
′
+
B
2
y
′
2
+
A
F
′
=
(
A
x
′
+
B
y
′
)
2
+
A
F
′
{\displaystyle 0=A^{2}x'^{2}+2ABx'y'+B^{2}y'^{2}+AF'=\left(Ax'+By'\right)^{2}+AF'}
i, aleshores, si
A
F
′
≤
0
{\displaystyle AF'\leq 0}
A
x
′
+
B
y
′
−
−
A
F
′
=
0
{\displaystyle Ax'+By'-{\sqrt {-AF'}}=0}
A
F
′
>
0
{\displaystyle AF'>0}
real . Per a
C
≠
0
{\displaystyle C\neq 0}
A
=
B
2
C
{\displaystyle A={\dfrac {B^{2}}{C}}}
0
=
B
2
x
′
2
+
2
B
C
x
′
y
′
+
C
2
y
′
2
+
A
F
′
=
(
B
x
′
+
C
y
′
)
2
+
C
F
′
{\displaystyle 0=B^{2}x'^{2}+2BCx'y'+C^{2}y'^{2}+AF'=\left(Bx'+Cy'\right)^{2}+CF'}
amb els mateixos resultats segons el signe de
C
F
′
>
0
{\displaystyle CF'>0}
Posició canònica
modifica
Si a l'equació de la cònica centrada a l'origen:
A
x
′
2
+
2
B
x
′
y
′
+
C
y
′
2
+
F
′
=
0
{\displaystyle Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}+F'=0}
és
B
=
0
{\displaystyle B=0}
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle (x',y')}
(
x
′
,
−
y
′
)
{\displaystyle (x',-y')}
(
−
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle (-x',y')}
(
−
x
′
,
−
y
′
)
{\displaystyle (-x',-y')}
φ
{\displaystyle \varphi }
x
′
=
X
cos
φ
−
Y
sin
φ
y
′
=
X
sin
φ
+
Y
cos
φ
{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x'&=X\cos \varphi -Y\sin \varphi \\y'&=X\sin \varphi +Y\cos \varphi \end{alignedat}}}
podem aconseguis una equació del tipus
A
′
X
2
+
C
′
Y
2
+
F
″
=
0
{\displaystyle A'X^{2}+C'Y^{2}+F''=0}
Ha de ser:
A
(
X
cos
φ
−
Y
sin
φ
)
2
+
2
B
(
X
cos
φ
−
Y
sin
φ
)
(
X
sin
φ
+
Y
cos
φ
)
+
C
(
X
sin
φ
+
Y
cos
φ
)
2
+
F
′
=
0
{\displaystyle A(X\cos \varphi -Y\sin \varphi )^{2}+2B(X\cos \varphi -Y\sin \varphi )(X\sin \varphi +Y\cos \varphi )+C(X\sin \varphi +Y\cos \varphi )^{2}+F'=0}
que, després d'operar, dóna:
(
A
cos
2
φ
+
2
B
cos
φ
sin
φ
+
C
sin
2
φ
)
X
2
+
(
2
B
(
cos
2
φ
−
sin
2
φ
)
−
2
(
A
−
C
)
cos
φ
sin
φ
)
X
Y
+
(
A
sin
2
φ
−
2
B
cos
φ
sin
φ
+
C
cos
2
φ
)
Y
2
+
F
′
=
0
{\displaystyle \left(A\cos ^{2}\varphi +2B\cos \varphi \sin \varphi +C\sin ^{2}\varphi \right)X^{2}+\left(2B\left(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \right)-2(A-C)\cos \varphi \sin \varphi \right)XY+\left(A\sin ^{2}\varphi -2B\cos \varphi \sin \varphi +C\cos ^{2}\varphi \right)Y^{2}+F'=0}
Aleshores cal exigir
2
B
(
cos
2
φ
−
sin
2
φ
)
−
2
(
A
−
C
)
cos
φ
sin
φ
=
0
{\displaystyle 2B\left(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \right)-2(A-C)\cos \varphi \sin \varphi =0}
o sigui,
2
B
cos
2
φ
−
(
A
−
C
)
sin
2
φ
=
0
{\displaystyle 2B\cos 2\varphi -(A-C)\sin 2\varphi =0}
és a dir,
2
B
A
−
C
=
sin
2
φ
cos
2
φ
=
tan
2
φ
{\displaystyle {\dfrac {2B}{A-C}}={\dfrac {\sin 2\varphi }{\cos 2\varphi }}=\tan 2\varphi }
i com que
tan
2
φ
=
tan
(
2
φ
+
π
)
{\displaystyle \tan 2\varphi =\tan(2\varphi +\pi )}
resulten dos valors possibles per a
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
=
{
arctan
2
B
A
−
C
2
arctan
2
B
A
−
C
2
+
π
2
{\displaystyle \varphi =\left\{{\begin{alignedat}{1}&{\dfrac {\arctan {\dfrac {2B}{A-C}}}{2}}\\&{\dfrac {\arctan {\dfrac {2B}{A-C}}}{2}}+{\dfrac {\pi }{2}}\end{alignedat}}\right.}
tot posant els eixos de simetria de la cònica respectivament sobre els eixos de coordenades "
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
Observem que si
A
=
C
{\displaystyle A=C}
(
A
cos
2
φ
+
2
B
cos
φ
sin
φ
+
A
sin
2
φ
)
X
2
+
(
2
B
(
cos
2
φ
−
sin
2
φ
)
)
X
Y
+
(
A
sin
2
φ
−
2
B
cos
φ
sin
φ
+
A
cos
2
φ
)
Y
2
+
F
′
=
0
{\displaystyle \left(A\cos ^{2}\varphi +2B\cos \varphi \sin \varphi +A\sin ^{2}\varphi \right)X^{2}+\left(2B\left(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \right)\right)XY+\left(A\sin ^{2}\varphi -2B\cos \varphi \sin \varphi +A\cos ^{2}\varphi \right)Y^{2}+F'=0}
Còniques sense centre
modifica
Si la cònica
A
x
2
+
2
B
x
y
+
C
y
2
+
2
D
x
+
2
E
y
+
F
=
0
{\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0}
no té centre és perquè
Δ
=
A
C
−
B
2
=
0
{\displaystyle \Delta =AC-B^{2}=0}
Casos particulars i vèrtexs
modifica
Si
A
=
0
{\displaystyle A=0}
C
=
0
{\displaystyle C=0}
B
=
0
{\displaystyle B=0}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle C}
Si
A
≠
0
,
C
=
0
i
E
≠
0
,
l'equació és:
A
x
2
+
2
D
x
+
2
E
y
+
F
=
0
(
i
)
Si
A
≠
0
,
C
=
0
i
E
=
0
,
l'equació és:
A
x
2
+
2
D
x
+
F
=
0
(
i
i
)
Si
A
=
0
,
C
≠
0
,
i
D
≠
0
l'equació és:
C
y
2
+
2
D
x
+
2
E
y
+
F
=
0
(
i
i
i
)
Si
A
=
0
,
C
≠
0
,
i
D
=
0
l'equació és:
C
y
2
+
2
E
y
+
F
=
0
(
i
v
)
{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\mbox{Si }}A\neq 0,C=0{\mbox{ i }}E\neq 0,{\mbox{ l'equació és: }}Ax^{2}+2Dx+2Ey+F=0&(i)\\{\mbox{Si }}A\neq 0,C=0{\mbox{ i }}E=0,{\mbox{ l'equació és: }}Ax^{2}+2Dx+F=0&(ii)\\{\mbox{Si }}A=0,C\neq 0,{\mbox{ i }}D\neq 0{\mbox{ l'equació és: }}Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0&(iii)\\{\mbox{Si }}A=0,C\neq 0,{\mbox{ i }}D=0{\mbox{ l'equació és: }}Cy^{2}+2Ey+F=0&(iv)\end{array}}}
En els casos
(
i
i
)
{\displaystyle (ii)}
(
i
v
)
{\displaystyle (iv)}
D
2
−
A
F
{\displaystyle D^{2}-AF}
E
2
−
C
F
{\displaystyle E^{2}-CF}
y
{\displaystyle y}
(
i
i
)
{\displaystyle (ii)}
x
{\displaystyle x}
(
i
v
)
{\displaystyle (iv)}
En els casos
(
i
)
{\displaystyle (i)}
(
i
i
i
)
{\displaystyle (iii)}
y
{\displaystyle y}
(
i
)
{\displaystyle (i)}
x
{\displaystyle x}
(
i
i
i
)
{\displaystyle (iii)}
Si el vèrtex és en el punt
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
x
=
x
′
+
α
y
=
y
′
+
β
{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x&=x'+\alpha \\y&=y'+\beta \end{alignedat}}}
portarà aquest vèrtex a l'origen i la nova equació serà
Cas
(
i
)
:
A
′
x
′
2
+
2
E
′
y
′
=
0
Cas
(
i
i
i
)
:
C
′
y
′
2
+
2
D
′
x
′
=
0
{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\mbox{Cas }}(i):&A'x'^{2}+2E'y'=0\\{\mbox{Cas }}(iii):&C'y'^{2}+2D'x'=0\\\end{array}}}
Tenim
Cas
(
i
)
:
0
=
A
(
x
′
+
α
)
2
+
2
D
(
x
′
+
α
)
+
2
E
(
y
′
+
β
)
+
F
=
=
A
x
′
2
+
2
(
A
α
+
D
)
x
′
+
2
E
y
′
+
(
A
α
2
+
2
D
α
+
2
E
β
+
F
)
Cas
(
i
i
i
)
:
0
=
C
(
y
′
+
β
)
2
+
2
D
(
x
′
+
α
)
+
2
E
(
y
′
+
β
)
+
F
=
=
C
y
′
2
+
2
D
x
′
+
2
(
C
β
+
E
)
y
′
+
(
C
β
2
+
2
D
α
+
2
E
β
+
F
)
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\mbox{Cas }}(i):&0&=A(x'+\alpha )^{2}+2D(x'+\alpha )+2E(y'+\beta )+F=\\&&&=Ax'^{2}+2(A\alpha +D)x'+2Ey'+\left(A\alpha ^{2}+2D\alpha +2E\beta +F\right)\\&{\mbox{Cas }}(iii):\ &0&=C(y'+\beta )^{2}+2D(x'+\alpha )+2E(y'+\beta )+F=\\&&&=Cy'^{2}+2Dx'+2(C\beta +E)y'+\left(C\beta ^{2}+2D\alpha +2E\beta +F\right)\end{alignedat}}}
i ha de ser:
Cas
(
i
)
:
α
=
−
D
A
,
β
=
D
2
−
A
F
2
A
E
Cas
(
i
i
i
)
:
α
=
E
2
−
C
F
2
C
D
,
β
=
−
E
C
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\mbox{Cas }}(i):&\alpha &=-{\dfrac {D}{A}},\quad \beta ={\dfrac {D^{2}-AF}{2AE}}\\&{\mbox{Cas }}(iii):\ &\alpha &={\dfrac {E^{2}-CF}{2CD}},\quad \beta =-{\dfrac {E}{C}}\end{alignedat}}}
i, després de la translació, les equacions queden
Cas
(
i
)
:
A
x
′
2
+
2
E
y
′
=
0
Cas
(
i
i
i
)
:
C
y
′
2
+
2
D
x
′
=
0
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\mbox{Cas }}(i):&Ax'^{2}+2Ey'=0\\&{\mbox{Cas }}(iii):\ &Cy'^{2}+2Dx'=0\end{alignedat}}}
i, en la forma més clàssica,
Cas
(
i
)
:
x
′
2
=
−
2
E
A
y
′
=
2
p
y
′
,
amb
p
=
−
E
A
Cas
(
i
i
i
)
:
y
′
2
=
−
2
D
C
x
′
=
2
p
x
′
,
amb
p
=
−
D
C
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\mbox{Cas }}(i):&x'^{2}=-{\dfrac {2E}{A}}y'=2py',{\mbox{amb }}p=-{\dfrac {E}{A}}\\&{\mbox{Cas }}(iii):\ &y'^{2}=-{\dfrac {2D}{C}}x'=2px',{\mbox{amb }}p=-{\dfrac {D}{C}}\end{alignedat}}}
Es tracta, doncs, de paràboles amb el vèrtex a l'origen de coordenades, amb l'eix "
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
Estudiem el cas
A
≠
0
{\displaystyle A\neq 0}
C
≠
0
{\displaystyle C\neq 0}
B
≠
0
{\displaystyle B\neq 0}
A
{\displaystyle A}
0
=
A
2
x
2
+
2
A
B
x
y
+
A
C
y
2
+
2
A
D
x
+
2
A
E
y
+
A
F
=
=
A
2
x
2
+
2
A
B
x
y
+
B
2
y
2
+
2
A
D
x
+
2
A
E
y
+
A
F
=
=
(
A
x
+
B
y
)
2
+
2
A
D
x
+
2
A
E
y
+
A
F
{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}0&=A^{2}x^{2}+2ABxy+ACy^{2}+2ADx+2AEy+AF=\\&=A^{2}x^{2}+2ABxy+B^{2}y^{2}+2ADx+2AEy+AF=\\&=\left(Ax+By\right)^{2}+2ADx+2AEy+AF\end{alignedat}}}
Fem ara la mateixa rotació de les coordenades, amb angle
φ
{\displaystyle \varphi }
2
A
B
x
y
{\displaystyle 2ABxy}
x
=
x
′
cos
φ
−
y
′
sin
φ
y
=
x
′
sin
φ
+
y
′
cos
φ
{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x&=x'\cos \varphi -y'\sin \varphi \\y&=x'\sin \varphi +y'\cos \varphi \end{alignedat}}}
Queda:
0
=
(
A
(
x
′
cos
φ
−
y
′
sin
φ
)
+
B
(
x
′
sin
φ
+
y
′
cos
φ
)
)
2
+
+
2
A
D
(
x
′
cos
φ
−
y
′
sin
φ
)
+
2
A
E
(
x
′
sin
φ
+
y
′
cos
φ
)
+
A
F
=
=
(
A
cos
φ
+
B
sin
φ
)
2
x
′
2
−
2
(
A
cos
φ
+
B
sin
φ
)
(
A
sin
φ
−
B
cos
φ
)
x
′
y
′
+
(
A
sin
φ
−
B
cos
φ
)
2
y
′
2
+
+
2
A
(
D
cos
φ
+
E
sin
φ
)
x
′
−
2
A
(
D
sin
φ
−
E
cos
φ
)
y
′
+
A
F
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&0&\,=\,&\left(A(x'\cos \varphi -y'\sin \varphi )+B(x'\sin \varphi +y'\cos \varphi )\right)^{2}+\\&&&+2AD(x'\cos \varphi -y'\sin \varphi )+2AE(x'\sin \varphi +y'\cos \varphi )+AF=\\&&\,=\,&(A\cos \varphi +B\sin \varphi )^{2}x'^{2}-2(A\cos \varphi +B\sin \varphi )(A\sin \varphi -B\cos \varphi )x'y'+(A\sin \varphi -B\cos \varphi )^{2}y'^{2}+\\&&&+2A(D\cos \varphi +E\sin \varphi )x'-2A(D\sin \varphi -E\cos \varphi )y'+AF\end{alignedat}}}
i ha de ser
(
A
cos
φ
+
B
sin
φ
)
(
A
sin
φ
−
B
cos
φ
)
=
0
{\displaystyle (A\cos \varphi +B\sin \varphi )(A\sin \varphi -B\cos \varphi )=0}
amb dues possibilitats per a la rotació:
tan
φ
1
=
−
A
B
,
tan
φ
2
=
B
A
{\displaystyle \tan \varphi _{1}=-{\dfrac {A}{B}}\,,\quad \tan \varphi _{2}={\dfrac {B}{A}}}
Observem que, com en cas de les còniques amb centre,
φ
1
−
φ
2
=
±
π
2
{\displaystyle \varphi _{1}-\varphi _{2}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}}
Però no només hem aconseguit eliminar el termes en
x
′
y
′
{\displaystyle x'y'}
φ
1
{\displaystyle \varphi _{1}}
φ
2
{\displaystyle \varphi _{2}}
x
′
2
{\displaystyle x'^{2}}
y
′
2
{\displaystyle y'^{2}}
Amb rotació d'angle
φ
1
:
(
A
sin
φ
1
−
B
cos
φ
1
)
2
y
′
2
+
2
A
(
D
cos
φ
1
+
E
sin
φ
1
)
x
′
−
2
A
(
D
sin
φ
1
−
E
cos
φ
1
)
y
′
+
A
F
=
0
Amb rotació d'angle
φ
2
:
(
A
cos
φ
2
+
B
sin
φ
2
)
2
x
′
2
+
2
A
(
D
cos
φ
2
+
E
sin
φ
2
)
x
′
−
2
A
(
D
sin
φ
2
−
E
cos
φ
2
)
y
′
+
A
F
=
0
{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\mbox{Amb rotació d'angle }}\varphi _{1}:(A\sin \varphi _{1}-B\cos \varphi _{1})^{2}y'^{2}+2A(D\cos \varphi _{1}+E\sin \varphi _{1})x'-2A(D\sin \varphi _{1}-E\cos \varphi _{1})y'+AF=0\\{\mbox{Amb rotació d'angle }}\varphi _{2}:(A\cos \varphi _{2}+B\sin \varphi _{2})^{2}x'^{2}+2A(D\cos \varphi _{2}+E\sin \varphi _{2})x'-2A(D\sin \varphi _{2}-E\cos \varphi _{2})y'+AF=0\end{array}}}
o sigui, de la forma
Amb rotació d'angle
φ
1
:
C
′
y
′
2
+
2
D
′
x
′
−
2
E
′
y
′
+
F
′
=
0
Amb rotació d'angle
φ
2
:
A
′
x
′
2
+
2
D
′
x
′
−
2
E
′
y
′
+
F
′
=
0
{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\mbox{Amb rotació d'angle }}\varphi _{1}:C'y'^{2}+2D'x'-2E'y'+F'=0\\{\mbox{Amb rotació d'angle }}\varphi _{2}:A'x'^{2}+2D'x'-2E'y'+F'=0\end{array}}}
Hem aribat, doncs, als casos
(
i
i
i
)
{\displaystyle (iii)}
(
i
)
{\displaystyle (i)}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
Amb rotació d'angle
φ
1
:
y
′
2
=
−
2
D
′
C
′
x
′
=
2
p
x
′
,
amb
p
=
−
D
′
C
′
Amb rotació d'angle
φ
2
:
x
′
2
=
−
2
E
′
A
′
y
′
=
2
p
y
′
,
amb
p
=
−
E
′
A
′
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\mbox{Amb rotació d'angle }}\varphi _{1}:\ &y'^{2}=-{\dfrac {2D'}{C'}}x'=2px',{\mbox{amb }}p=-{\dfrac {D'}{C'}}\\&{\mbox{Amb rotació d'angle }}\varphi _{2}:\ &x'^{2}=-{\dfrac {2E'}{A'}}y'=2py',{\mbox{amb }}p=-{\dfrac {E'}{A'}}\end{alignedat}}}
