Usuari:Brill/proves/Equació general còniques

Equacions generalsModifica

 

Còniques amb centreModifica

Si l'equació de la cònica és homogènia, això és, de la forma

 

aleshores, el punt   és de la cònica si, i només si, ho és el punt   i la cònica té simetria central, amb centre al punt  . Per tant, si la cònica té centre al punt  , ha d'haver-hi un canvi de coordenades:

 

que transformi l'equació general en una equació homogènia. Ha de ser:

 

que, després d'operar dóna:

 

El punt   és, doncs, la solució del sistema lineal

 

amb solució única si

 

Amb discriminant no nulModifica

La quantitat   es diu el discriminant de la cònica i el seu signe en determina el caràcter. De moment,   el sistema és compatible i determinat, cosa que implica que la cònica té centre i és, o bé una el·lipse, o bé una hipèrbola. Si posem   l'equació quedarà així:

 

Amb discriminant nulModifica

Si   i el sistema és incompatible, la cònica no té centre.

Si  , algun dels coeficients   o   no és zero (si ho fossin tots dos, també ho seria   i l'equació es reduiria a  , és a dir, a la d'una recta) i el sistema no és incompatible, sinó indeterminat, ha de ser

 

Per a  ,   i l'equació queda

 

o sigui

 

i, aleshores, si   tenim la recta   i, si   no hi ha cònica real. Per a  ,   i l'equació queda

 

amb els mateixos resultats segons el signe de  .

Posició canònicaModifica

Si a l'equació de la cònica centrada a l'origen:

 

és  , aleshores, si el punt   és de la cònica, també ho són els punts  ,   i   i els eixos de coordenades són eixos de simetria de la cònica. Ara veurem com amb una rotació de les coordenades amb angle  ,

 

podem aconseguis una equació del tipus

 

Ha de ser:

 

que, després d'operar, dóna:

 

Aleshores cal exigir

 

o sigui,

 

és a dir,

 

i com que

 

resulten dos valors possibles per a  :

 

tot posant els eixos de simetria de la cònica respectivament sobre els eixos de coordenades " " i " ", o bé sobre els eixos " " i " ".

Observem que si  , l'equació queda

 

Còniques sense centreModifica

Si la cònica

 

no té centre és perquè  .

Casos particulars i vèrtexsModifica

Si   o  , aleshores  . Els coeficients   i   no poden ser simultàniament zero, perquè, aleshores, l'equació és de grau 1 i és la d'una recta.

 

En els casos   i   es tracta d'equacions de segon grau amb una incògnita amb dues, una, o cap solució si, respectivament,   o   és més gran, igual o més petit que zero. La cònica consisteix en dues rectes paral·leles a l'eix " " en el cas  , o a l'eix " " en el cas  , que poden ser coïncidents o imaginàries, segons el nombre de solucions diferents de l'equació.

En els casos   i   una incògnita es pot expressar coma funció polinòmica de segon grau de l'altra incògnita i es tracta, doncs, de paràboles, amb eix de simetria paral·lel a l'eix " " en el cas  , i amb eix de simetria paral·lel a l'eix " " en el cas  .

Si el vèrtex és en el punt  , el canvi de coordenades

 

portarà aquest vèrtex a l'origen i la nova equació serà

 

Tenim

 

i ha de ser:

 

i, després de la translació, les equacions queden

 

i, en la forma més clàssica,

 

Es tracta, doncs, de paràboles amb el vèrtex a l'origen de coordenades, amb l'eix " " i l'eix " " respectivament, com a eix de simetria.

Cas generalModifica

Estudiem el cas  ,   i, conseqüentment,  . Si multipliquem l'equació per   queda

 

Fem ara la mateixa rotació de les coordenades, amb angle  , tot intentant fer desaparèixer el terme  ,

 

Queda:

 

i ha de ser

 

amb dues possibilitats per a la rotació:

 

Observem que, com en cas de les còniques amb centre,  .

Però no només hem aconseguit eliminar el termes en  , sinó que en dependència de si s'escull l'angle   o   per fer la rotació, també s'elimina un dels termes en   o   respectivament. En cadascun dels casos l'equació queda:

 

o sigui, de la forma

 

Hem aribat, doncs, als casos   i   del paràgraf anterior: es tracta de paràboles, amb eix de simetria paral·lel a l'eix " " en el primer cas, i amb eix de simetria paral·lel a l'eix " " en el segon cas que poden traslladar-se fàcilment de manera que el vèrtex estigui a l'origen de coordenades, per obtenir una d'aquestes equacions reduïdes: