Usuari:Freutci/normal primitiva

La funció de distribució d'una distribució normal ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ és

$$F(x;\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x}f(t;\mu ,\sigma )\,dt={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-(t-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dt,\quad x\in \mathbb {R} .$$

Per a una distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$ s'acostuma a utlitzar la notació $\Phi (x)$ per designar la seva funció de distribució. Concretament,

$$\Phi (x)=F(x;0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt,\quad x\in \mathbb {R} .$$

Cal notar que

$$F(x;\mu ,\sigma )=\Phi {\Big (}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Big )}.$$

(Vegeu mes avall l'apartat sobre estandarització de variables normals).

Es important remarcar que la funció de distribució no és pot expressar en termes de funcions elementals (polinomis, exponencials, funcions trigonomètriques,..) Vegeu un comentari sobre la demostració d'aquesta propietat a l'article . Per aquest motiu, de cara a la utilització pràctica de les distribucions normals i els càlculs numèrics corresponents, les aproximacions a la funció de distribució són molt importants i s'ha utilitzat tècniques d' integració numèrica, sèries de Taylor, sèries asimptòtiques i fraccions contínues. Vegeu Patel and Read per una revisió d'aquestes aproximacions.