Funcions absolutament contínues

modifica

Una funció   es diu que és absolutament contínua si per a qualsevol   tal que que per qualsevol nombres  , amb   tenim

 
Anàlogament es diu que   és absolutament contínua si compleix la condició anterior amb  .

Evidentment, una funció absolutament contínua és contínua.

Pel seu especial interès en Teoria de probabilitat ens limitarem a les funcions de distribució absolutament contínues.


Demostracions

modifica

Per demostrar aquesta propietat necessitem recordar les notacions de la pàgina Funció de Cantor:

Per a cada nivell   designem per   els intervals que hem suprimit per construir  . Per exemple,

 
 

Vegeu la Figura 1.

 
Figura 1. Intervals   i  que intervenen en la construcció del conjunt de Cantor pels casos  


Volem veure que   o equivalentment,  . Amb les notacions anteriors,

 
Però la funció   és horitzontal sobre qualsevol d'aquests intervals; si designem per   un d'aquests intervals, tenim
 

D'on resulta  .

Per veure que   és el suport tancat de la distribució de Cantor s'ha de provar que per qualsevol entorn   d'un punt de   tenim que  . Però (vegeu les Propietats topològiques del conjunt de Cantor) si   ,   , i   es un entorn de  , existeixen punts  ,  ,tals que   . Per la definició de   , és evident que   .

Els casos   es tracten de manera similar.

Caracterització

modifica

Volem veure que

 
En efecte, cada interval   té de longitud  . Notem que
 

Examinant com són aquest intervals es veu que tenen la forma

 

Llavors (vegeu la definició de la funció de Cantor),

 

Simetria

modifica

Volem demostrar que la variable aleatòria   també té una distribució de Cantor. Designem per   la funció de distribució de  ; hem de provar que   : en efecte (recordeu que   és contínua)

 
on hem aplicat la propietat 6 de la funció de Cantor.

Autosemblança

modifica

Designem la  funció de distribució  de   per  . Volem veure que  . Fixem  . Pel teorema de les probabilitats totals,

 

on hem aplicat la propietat 7 de la funció de Cantor.

Moments

modifica

Esperança

modifica

Del fet que      i     tenen ambdues distribucions de Cantor, es dedueix que

 
d'on
 

Moment de 2n ordre i variància

modifica

De la propietat d'autosemblança tenim

 
d'on, aïllant,
 
D'aquí s'obté:
 

Fórmula de recurrència pels moments

modifica

Escrivim

 
Tenim que
 


Funció característica

modifica

Per la versió per esperances de la fórmula de les probabilitats totals,

 
A partir de la fórmula d'Euler
 
es segueix que
 
Aplicant-ho a  , tenim que
 
Iterant aquest procediment arribem a
 
Passant al límit quan   i utilitzant les propietats de les funcions característiques deduïm que