Usuari:Jsolamr/proves/Teorema de la funció oberta

En matemàtiques hi ha dos teoremes amb el nom de teorema de la funció oberta.

Anàlisis funcional modifica

En anàlisi funcional, on també es coneix amb el nom de teorema de l'aplicació oberta, el teorema diu que [1]si  i  són espais de Banach i   és una aplicació lineal, contínua i exhaustiva, aleshores   és una aplicació oberta, és a dir, si  és un obert de  , aleshores necessàriament  també és un obert de  .

La demostració utilitza el teorema de la categoria de Baire.

Aquest teorema de la funció (o aplicació) oberta té dues conseqüències importants:

  • Si   és un operador lineal continu i bijectiu entre dos espais de Banach  i   , aleshores l'operador invers  també és continu.
  • Si   és un operador lineal entre dos espais de Banach  i   i si per a cada successió   de  tal que   i tal que   es compleix que necessàriament  , aleshores  és continu (teorema de la gràfica tancada).

Anàlisis complexa modifica

A l'anàlisi complexa, el teorema de la funció oberta diu que [2]si  és un obert connex del pla complex  i  és una funció holomorfa no constant, aleshores  és una funció oberta, és a dir, que envia oberts de  en oberts de  .

  1. Brézis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations (en anglès). New York: Springer, 2011. ISBN 9780387709130. 
  2. Bruna, Joaquim; Cufí, Julià. Anàlisi Complexa. Bellaterra: Universitat Autònoma de Barcelona, 2008. ISBN 9788449025594.