Usuari:Mcapdevila/axonometria ortogonal

Axonometria ortogonal: mètode de construcció

Exemple: representació axonomètrica ortogonal d'una casa

La axonometria ortogonal proporciona un mètode relativament simple per poder dibuixar una projecció paral·lela ortogonal d'un objecte a partir de dues vistes dièdriques associades (generalment, la seva planta i el seu alçat). Utilitza el mètode d'incidència, en què la imatge dels eixos de coordenades pot ser triada (gairebé) lliurement, determinant a continuació les orientacions relatives de la planta i de l'alçat amb el procediment que es detalla més endavant. Els avantatges de l'axonometria ortogonal són:

A) Un bon aspecte de la imatge dibuixada

B) Les direccions dels eixos sobre el pla de dibuix es poden seleccionar lliurement

C) El contorn d'una esfera és una circumferència

D) És un mètode d'incidència ràpid, que no requereix escurçar ni aplicar coordenades individuals: un cop orientats la planta i l'alçat de el model, per determinar la posició d'un punt en el dibuix axonomètric n'hi ha prou amb dibuixar rectes paral·leles a les adreces d' incidència i tallar els raigs associats.

Descripció del mètode

Donat un sistema de coordenades tridimensionals xyz, el mètode es basa en triar arbitràriament la projecció dels tres eixos de coordenades sobre el pla de dibuix (adreces ${\overline {O}}{\overline {x}},{\overline {O}}{\overline {i}},{\overline {O}}{\overline {z}}$), i a partir d'aquests tres eixos, determinar l'orientació relativa de la vista en planta (projecció sobre el pla xy) i de la vista en alçat (projecció sobre el pla z) d'un objecte, que van a facilitar la seva representació axonomètrica ortogonal mitjançant el procediment d'incidència de raigs. La direcció de projecció resultant, és la normal al pla representat pel triangle de referència $S_{x},S_{y},S_{z}$, intersecció de l'esmentat pla perpendicular a la direcció de projecció, amb els tres plans de coordenades:

1. Seleccionar les direccions dels 3 eixos de coordenades (no tots col·lineals) al mapa de l'dibuix (${\overline {O}}{\overline {x}},{\overline {O}}{\overline {i}},{\overline {O}}{\overline {z}}$).
2. Elegit un punt qualsevol (com $S_{x}$) construir el triangle $S_{x},S_{y},S_{z}$, tenint en compte que els seus costats són perpendiculars als eixos de coordenades oposats ($[S_{x},S_{y}]$ a ${\overline {O}}{\overline {z}}$; $[S_{y},S_{z}]$ a ${\overline {O}}{\overline {x}}$ ; i finalment $[S_{z},S_{y}]$ a ${\overline {O}}{\overline {i}}$). Lògicament, la imatge de l'origen de coordenades ${\overline {O}}$ és el punt d'intersecció de les altures del triangle $S_{x},S_{y},S_{z}$.
3. Determinar el punt $O'$, abatiment de ${\overline {O}}$ sobre el pla horitzontal. Per a això, s'utilitza la propietat que l'angle $S_{x}O'S_{y}$ té 90 ° i que $O'$ ha de quedar projectat sobre l'eix ${\overline {O}}Sz$. Per això, només determinar la intersecció de la circumferència amb centre en el punt mitjà del segment $[S_{x},S_{y}]$ d'una banda i l'eix ${\overline {O}}Sz$ per un altre. L'angle $S_{x}O'S_{y}$ determina l'orientació de mapa de la planta.
4. Determinar el punt $O''$, abatiment de ${\overline {O}}$ sobre el pla de l'alçat. Per a això, s'utilitza la propietat que l'angle $S_{y}O''S_{z}$ té 90 ° i que $O''$ ha de quedar projectat sobre l'eix ${\overline {O}}sx$. Per això, només determinar la intersecció de la circumferència amb centre en el punt mitjà del segment $[S_{y},S_{z}]$ d'una banda i l'eix ${\overline {O}}Sx$ per un altre. L'angle $S_{y}O''S_{z}$ determina l'orientació de mapa de la l'alçat.
5. Un cop localitzades les orientacions relatives de la planta i de l'alçat, es pot iniciar el dibuix de la perspectiva axonomètrica ortonormal pel procediment d'incidència.

Justificació de el procediment

Axonometria ortogonal: mètode de projecció de l'origen per abatre la seva posició sobre el pla horitzontal

Axonometria ortogonal: representació d'una esfera i d'un cilindre

Una projecció paral·lela ortogonal queda unívocament determinada especificant la direcció de projecció $\mathbf {p}$. El plànol del dibuix és perpendicular a la direcció de projecció i es pot lliscar al llarg de la direcció de projecció com es vulgui sense alterar el resultat del dibuix. Per obtenir una imatge vívida de l'objecte espacial, s'ha de triar una adreça de projecció que no sigui paral·lela cap dels tres eixos de coordenades.Per tant, els tres eixos de coordenades s'intersequen al mapa del dibuix en els punts de referència $S_{x},S_{y},S_{z}$. Amb l'elecció d'un punt de referència, els altres dos queden fixats automàticament. Les imatges dels eixos de coordenades són les altures de el triangle format per aquests tres punts, i la imatge de l'origen de coordenades és la intersecció d'aquestes altures. Quan el plànol de planta (pla xy) s'abat al voltant de la línia recta $S_{x}S_{y}$, la imatge del punt zero ${\overline {O}}$ es desplaça sobre l'eix ${\overline {z}}$ al punt ${\tilde {O}}'$. Els punts de referència $S_{x}S_{y}$ romanen sense canvis durant el procés de gir. Així que la línia a través de $S_{x},O'$ és l'eix x abatut des del pla de dibuix. De manera similar, s'obté l'eix i abatut, i per tant, el plànol de planta sense distorsió (pla xy). Per no alterar la imatge axonomètrica, s'ha de dibuixar el plànol de planta orientant-lo en la direcció de l'eix ${\overline {z}}$ cap avall. El procediment és anàleg per l'alçat (pla yz). Les dues direccions principals de l'procés d'incisió resultant són les adreces de l'eix ${\overline {z}}$ i de l'eix ${\overline {x}}$.

Esfera i circumferència

El·lipse: determinació de l'semieix menor OB, a partir de l'semieix major OA i d'un punt qualsevol de l'el·lipse (punt vermell)

Les 'esferes' són particularment fàcils de visualitzar en l'axonometria ortogonal: el contorn d'una esfera és una circumferència amb el radi de l'esfera. Per obtenir una imatge d'una esfera, només cal determinar la imatge del seu centre i després s'ha de dibuixar la circumferència del seu contorn. En una projecció paral·lela obliqua , el contorn d'una esfera és sempre una el·lipse, els eixos principals s'han de determinar laboriosament.

La projecció ortogonal d'una 'circumferència' quan està en un pla paral·lel a el de el dibuix és una altra circumferència sense distorsió. En qualsevol altre cas, apareix com una el·lipse, el centre és la imatge de centre de la circumferència. Les direccions dels eixos principals i la mida dels semieixos es poden determinar mitjançant la construcció de Rytz.

En una projecció paral·lela ortogonal , el diàmetre d'una circumferència situada en un pla paral·lel a algun pla de coordenades, apareix sense distorsió en l'eix major de l'el·lipse que forma la seva imatge. El punt central, la direcció del semieix major i la seva longitud (= radi de el cercle) es determinen automàticament a la projecció axonomètrica. La mida del semieix menor es determina d'acord amb el diagrama adjunt, a partir de el coneixement de l'eix major i d'un punt de l'el·lipse. En l'exemple, els cercles inferior i superior d'un cilindre són paral·lels a el pla xy. Les línies rectes del plànol xy, que són paral·leles a la planta del dibuix, són totes paral·leles a la línia recta $S_{x}S_{y}$. Per tant, el diàmetre del cercle inferior que és paral·lel a aquesta recta, es mostra sense distorsió. Com conegut el semieix major, prou un punt de l'el·lipse és suficient per realitzar la construcció que permet determinar la seva semieix menor, aquí s'ha utilitzat el punt de la circumferència en l'eix x. La imatge del cercle superior del cilindre és la imatge del cercle inferior desplaçada cap amunt.

Definicions alternatives

En lloc de marxar com s'ha fet anteriorment de les imatges dels eixos, també es pot definir una axonometria ortogonal pels procediments següents:

• Especificant el 'triangle de punts de referència' : el dibuix dels eixos de coordenades coincideix amb les altures d'aquest triangle, i l'origen de el sistema de coordenades és la intersecció de les tres altures.
• Especificant la 'direcció de projecció' $\mathbf {p}$ en planta i alçat (vegeu la imatge adjunta): per construir el triangle de referència, només cal triar un punt qualsevol com $S_{x}$ de l'eix x. Atès que la recta $S_{x}S_{y}$ ha de ser perpendicular a $\mathbf {p} '$, estenent-la es determina el punt $S_{y}$, donat per la intersecció de la perpendicular a $\mathbf {p} '$ des $S_{x}$ amb l'eix i en planta. Amb un raonament anàleg, es determina $S_{z}$ en l'alçat (vegeu la imatge). Les longituds dels costats $S_{x}S_{y}$ i $S_{y}S_{z}$ es poden reconèixer a la planta o en l'alçat. La longitud de $S_{x}S_{z}$ resulta de la 'rotació paral·lela' a mapa de la l'alçat (vegeu longitud vertadera).Per tant, és possible dibuixar el triangle de referència perquè es coneixen les longituds tots els seus costats (els números en el dibuix indiquen l'ordre dels passos de construcció).

Procediment invers

Reconstrucció de l'alçat d'una volta de creueria a partir del seu axonometria ortogonal (en vermell, el triangle de referència)

Suposant que una imatge és una projecció paral·lela ortogonal en la qual es poden identificar les imatges dels eixos, llavors és possible invertir les construccions anteriors per determinar la planta i l'alçat originals de la imatge. La direcció de projecció també es pot determinar en la reconstrucció.

'Exemple: determinació d'un alçat'

Donada la Axonometria ortogonal d'una volta de creueria Es busca: determinar les dimensions reals de la seva alçat.

Solució: Triar un punt de referència; aquí el centre de el cercle de la vora dreta. Determinar el triangle de referència (color vermell). Extreure l'alçat dret: a) Construir una paral·lela a la banda dreta de el triangle i desplaçar-la paral·lelament segons la direcció del seu eix oposat a una distància arbitrària. b) Determinar la posició de l'origen de coordenades abatut de l'alçat, mitjançant la construcció d'un cercle de Thales i el seu tall amb l'eix de l'desplaçament anterior prolongat des de l'origen. b) Dibuixar els dos eixos de l'alçat resultants. c) Determinar la posició dels punts del diàmetre principal de la circumferència, projectant sobre l'eix abatut de l'alçat. Reconstruir la resta de punts principals (vegeu el dibuix).

Bibliografia

• Fuck, Kirch, Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4
• Cornélie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X

Enllaços externs

• Normale (orthogonale) Axonometrie mit einfachen Beispielen
• Darstellende Geometrie für Architekten (PDF; 1,5 MB). Skript (Uni Darmstadt), S. 42