Usuari:Mikicat/Punt singular d'una corba

En geometria, un punt singular d'una corba és aquell en què la corba no es pot expressar amb una funció contínuament diferenciable d'un paràmetre. La definició precisa de punt singular depèn del tipus de corba s'està estudiant.

Corbes algebraiques al pla

Les corbes algebraiques al pla poden ser definides com a conjunt de punts (x, y) que satisfan una equació de la forma f(x, y)=0, on f és una funció polinòmica f:ℝ²→ℝ. Es pot expressar f com a

$f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots \,.$

Si l'origen (0, 0) és a la corba llavors a₀=0. Si b₁≠0 llavors el teorema de la funció implícita garanteix l'existència d'una funció contínuament diferenciable h tal que la corba té la forma y = h(x) a prop de l'origen. Igualment, si b₀≠0 llavors hi ha una funció contínuament diferenciable k tal que la corba té la forma x=k(y) a prop de l'origen. En qualsevol dels dos casos, existeix una aplicació diferenciable amb continuïtat que va des de ℝ al pla i que defineix la corba al voltant de l'origen. Es pot observar que a l'origen

$b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},$

de manera que la corba és regular o no-singular a l'origen si com a mínim una de les derivades parcials de f és diferent de zero. Els punts singulars són els punts de la corba en què les dues derivades parcials desapareixen,

$f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.$

Punts regulars

Assumim que la corba passa per l'origen i escrivim y=mx. Llavors f es pot escriure

$f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\dots .\,$

Si b₀+mb₁ no és 0 llavors f=0 té una solució de multiplicitat 1 a x=0 i l'origen és un punt d'únic contacte amb la recta y=mx. Si b₀+mb₁=0 llavors f=0 té una solució de multiplicitat 2 o més gran i la recta y=mx, o b₀x+b₁y=0, és tangent a la corba. En aquest cas, si c₀+2mc₁+c₂m² no és 0 llavors la corba té un punt de contacte doble amb y=mx. Si el coeficient de x², c₀+2mc₁+c₂m², és 0 però el coeficient de x³ no ho és, llavors l'origen és un punt d'inflexió de la corba.