Usuari:Sgallardo13/Polynomial long division

Dins àlgebra, la divisió llarga polinòmica és un algoritme per dividir un polinomi entre un altre polinomi d'el mateix o grau més baix, una versió generalitzada de la tècnica d'aritmètica familiar nomenada divisió llarga. Pot ser fet fàcilment a mà, perquè separa una divisió altrament complexa a una més petita . De vegades utilitzant una versió de taquigrafia nomenada la divisió sintètica és més ràpida, amb menys escriptura i menys càlculs.

La divisió llarga polinòmica és un algoritme que implementa la divisió Euclidiana de polinomis, en la que començant de dos polinomis Un (el dividend) i B (el divisor) productes, si B no és zero, un quocient Q i una resta R com aquest:

A = BQ + R,

I qualsevol R = 0 o el grau de R és més baix que el grau de B. Aquestes condicions únicament defineixen Q i R, la qual cosa significa que Q i R no depén en el mètode utilitzat per commutar-los.

El resultat R=0 ocorre si i només si el polinomi A té B com a factor. Per això la divisió llarga és un mitjà per provar si un polinòmi té un altre com a factor, i, si ell , per factorizar-lo. Per exemple, si una arrel r d'A és sabut, pugui ser factorizat fora per dividir A per (x–r).

Exemple

Trobar el quocient i la resta de la divisió de.

El dividend és primer reescrit així:

El quocient i la resta llavors poden ser determinats de la manera següent:

Divide the first term of the dividend by the highest term of the divisor (meaning the one with the highest power of x, which in this case is x). Place the result above the bar (x³ ÷ x = x²). : ${\begin{array}{l}{\color {White}x-3)x^{3}-2}x^{2}\\x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\end{array}}$
Multiply the divisor by the result just obtained (the first term of the eventual quotient). Write the result under the first two terms of the dividend ( $x 2 \cdot (x - 3) = x 3 - 3 x 2$ ). : ${\begin{array}{l}{\color {White}x-3)x^{3}-2}x^{2}\\x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3)}x^{3}-3x^{2}\end{array}}$
Subtract the product just obtained from the appropriate terms of the original dividend (being careful that subtracting something having a minus sign is equivalent to adding something having a plus sign), and write the result underneath ( $(x 3 - 2 x 2) - (x 3 - 3 x 2) = -2 x 2 + 3 x 2 = x 2$ ). Then, "bring down" the next term from the dividend. : ${\begin{array}{l}{\color {White}x-3)x^{3}-2}x^{2}\\x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3)}{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\{\color {White}x-3)x^{3}}+{\color {White}0}x^{2}+0x\end{array}}$
Repeat the previous three steps, except this time use the two terms that have just been written as the dividend. : ${\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x{\color {White}{}+3}\\x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\\end{array}}$
Repeat step 4. This time, there is nothing to "pull down". : ${\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x+3\\x-3{\overline {)x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\{\underline {+3x-9}}\\+5\end{array}}$

El polinomi per sobre la línia és el quocient q(x), i el número de sobre ( 5) és la resta r(x).

{x^{3}-2x^{2}-4}=(x-3)\,\underbrace {(x^{2}+x+3)} _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}

L'algoritme de divisió llarga per aritmètica és molt similar al algoritme explicat previament , en el que el variable x és reemplaçat pel número específic 10.

Pseudo-Codi

L'algoritme pot ser representat en pseudo-codi de la manera següent, on +, −, i × representen l'aritmètica polinòmica, i / representa una divisió senzilla de dos termes:

Funció n / d:
  requereix d ≠ 0
  q ← 0
  r ← n       # A cada pas n = d × q + r
  mentre r ≠ 0 I grau(r) ≥ grau(d):
     t ← avantatge(r)/avantatge(d)     # Divideix els termes davanters
     q ← q + t
     r ← r − t * d
  retorn (q, r)

Observa que això treballa igual de bé quan: grau(n) < grau(d); en aquest cas el resultat és només el trivial (0, n).

Aquest algoritme descriu exactament el mètode de paper i llapis mostrat a dalt: d és escrit a l'esquerra del ")"; q és escrit, terme a terme, per sobre de la línia horitzontal, el últim terme és el valor de t; la regió sota la línia horitzontal sol computar i escriure avall els valors successius de r.

Divisió euclidiana

Per cada parell de polinomis (Un, B) tal que B ≠ 0, la divisió polinòmica proporciona un quocient Q i una resta R com aquesta:

A=BQ+R,

o be R=0 o grau(R) < grau(B). A més (Q, R) és l'únicparell de polinomis que compta amb aquesta propietat.

El procés d'aconseguir els polinomis definits unicamentQ i R d'Un i B és diu divisió Euclidiana (de vegades transformació de divisió). La divisió llarga polinòmica és per això un algoritme per ladivisió Euclidiana.^[1]

Aplicacions

Polinomis de facturatge

De vegades una o més de les arrels d'un polinomi són sabudes, potser havent estat trobat utilitzant el teorema d'arrel racional. Si una arrel r d'un polinòmic P(x) de grau n és sabuda llavors la divisió llarga polinòmica pot ser factorizada P(x) en la forma (x − r)(Q(x)) on Q(x) és un polinomi de grau n (x − r)(Q(x)) 1. Q(x) És senzillament el quocient obtingut del procés de divisió; des de que r és sabuda per ser una arrel de P(x), és sabut que el residu ha de ser zero.

De totes maneres, si ja es coneix més d'una arrel, un factor linial (x − r) es un dels quals, pot ser dividida per tal d'obtenir Q(x), i llavors un terme lineal en una altra arrel, s, pot ser dividitde Q(x), etc. Alternativament tots poden ser dividits en una sola operació, per exemple els factox² − (r + s)x + rs, lineals − r i x s poden ser multiplicats junts per tal d'obtenir el factor quadràtic x − (r + s)x rs, els qual llavors poden dividir al polinomi original P(x) per obtenir un quocient de grau n - 2.

D'aquesta manera, de vegades totes les arrels d'un polinomi del grau més gran que quatre pot ser obtingut, encara que aixó no és sempre possible. Per exemple, si el teorema d'arrel racional pot obtenir un sola (racional) arrel d'un polinomi quíntic, pot ser factored per tal obtenir un quocient quàrtic (quart grau); la fórmula explícita per les arrels d'un polinomi quàrtic llavors pot ser utilizada per trobar les altres quatre arrels del quíntic.

Trobant tangents a funcions polinòmiques

La divisió llarga polinòmica pot soler trobar l'equació de la línia que és tangent al graf de la funció definida pel polinòmic P(x) a un punt particular x = r.^[2] Si R(x) és la resta de la divisió de P(x) per (x (x – r)², r)2, llavors l'equació de la línia de tangent a x = r al graf de la funció y = P(x) és y = P(x) = R(x), malgrat tot de si o no r és una arrel del polinomi.