Valor principal

Aquest article tracta sobre l'ús del terme valor principal en la descripció d'integrals impròpies . Vegeu-ne altres significats a «valor principal de Cauchy».

A l'anàlisi complexa, els valors principals de la funció de diversos valors són els valors al llarg d'una subdivisió escollida d'aquesta funció, pel que és l'únic valor.

MotivacióModifica

Considereu el logaritme complex de la funció log z. Es defineix com el nombre complex w tal com

 

Ara, per exemple, diguem que volem trobar el logaritme i. Això vol dir que volem resoldre

 

per w. Clarament iπ/2 és una solució. Però és l'única solució?

Per descomptat, hi ha altres solucions, cosa que s'evidencia tenint en compte la posició de i en el pla complex i, en particular, el seu argument arg i. Podem girar en sentit antihorari els radians π/2 d'1 fins a arribar inicialment a i, però si girem fins a un altre 2π arribarem a i de nou. Per tant, podem concloure que i(π/2 + 2π) és també una solució pel nostre log i. Es fa evident que podem afegir qualsevol múltiple de 2πi a la nostra solució inicial per obtenir tots els valors de log i.

Vegeu tambéModifica