Mètode de variació dels paràmetres

(S'ha redirigit des de: Variació de paràmetres)

En matemàtiques, la variació dels paràmetres és una tècnica usada per resoldre certes equacions diferencials ordinàries de segon ordre no homogènies. La variació de paràmetres no és una tècnica molt comuna en el camp de les matemàtiques pures, però és una eina útil en enginyeria.

TècnicaModifica

Donada una equació diferencial de la forma

 

es defineix l'operador lineal

 

on D representa l'operador diferencial. S'ha de resoldre, doncs, l'equació   per  , on   i   són conegudes.

Suposant que es tenen dues solucions linealment independents per l'equació diferencial donada, u1 i u2. Sigui W el Wronskià d'aquestes dues funcions, i W sigui diferent de zero (les solucions són linealment independents).

Es busca la solució general a l'equació diferencial   que serà de la forma

 

Aquí,   i   són desconegudes, i   i   són les solucions de l'equació homogènia. Es pot observar que si   i   són constants, llavors  . És desitjable que A=A(x) i B=B(x) siguin de la forma

 

Ara,

 
 
 

i com que es requereix la condició de sobre, llavors es té que

 

Derivant un altre cop (i ometent passos intermedis)

 

Ara es pot escriure l'acció de L sobre uG com a

 

Com que u1 i u2 són solucions, llavors

 

Es té el sistema d'equacions

 

Desenvolupant,

 

Per tant, el sistema de sobre determina les condicions

 
 

Es troben A(x) i B(x) d'aquestes condicions, per tant, donades

 

es pot resoldre per (A′(x), B′(x))T, i per tant

 
 

Finalment,

 
 

Mentre les equacions homogènies són relativament fàcils de resoldre, aquest mètode permet el càlcul dels coeficients de la solució general de l'equació particular, i per tant es pot determinar la solució general completa.

Cal tenir en compte que   i   es determinen per només una constant arbitràries addicional (la constant d'integració); es podrien esperar dues constants d'integració perquè l'equació original era de segon ordre. Afegir una constant a   o a   no canvia el valor de   perquè   és lineal.

Exemple d'úsModifica

Donada l'equació diferencial

 

Es vol trobar la solució general de l'equació, això és, trobar solucions a l'equació diferencial homogènia

 

Traiem l'equació característica

 
 

Com que hi ha una arrel repetida, s'ha d'introduir un factor de x a una solució per assegurar que siguin linealment independents.

S'obtenen, doncs, u1=e-2x, i u2=xe-2x. El Wronskià d'aquestes dues funcions és

 
 

Es busquen les funcions A(x) i B(x) tal que A(x)u1+B(x)u2 sigui una solució general de l'equació particular. Només queda calcular les integrals

 

això és,

 
 

on   i   són constants d'integració.