Obre el menú principal

En matemàtiques, l'índex del punt fix és un concepte en la teoria topològica de punts fixos, i en particular la teoria de Nielsen. L'índex de punt fix es pot considerar com una mesura de multiplicitat per a punts fixos.

L'índex es pot definir fàcilment en la configuració d'anàlisi complexa: Sigui un mapatge holomorf en el pla complex, i deixem que sigui un punt fix de . Llavors la funció és holomorfa, i té un zero aïllat en . Definim l'índex de punt fix de en , denotat , per ser la multiplicitat del zero de la funció en el punt .

En l'espai euclidià real, l'índex de punt fix es defineix de la manera següent: Si és un punt fix aïllat de , llavors fem que sigui la funció definida per

Llavors, té una singularitat aïllada en , i fa un mapatge del límit d'algun veïnatge suprimit de a l'esfera unitat. Definim com el grau de Brouwer del mapatge induït per en una petita esfera convenientment seleccionada al voltant de .[1]

El teorema de Lefschetz-HopfModifica

La importància de l'índex de punt fix es deu principalment al seu paper en el teorema de Lefschetz-Hopf, que diu:

 

on   és el conjunt de punts fixos de  , i   és el nombre de Lefschetz de  .

Atès que el valor del costat esquerre de l'anterior és clarament zero quan   no té punts fixos, el teorema de Lefschetz-Hopf implica trivialment el teorema del punt fix de Lefschetz.

ReferènciesModifica

BibliografiaModifica

  • Brown, Robert F. «Fixed Point Theory». A: History of Topology (en anglès), 1999, p. 271–299. ISBN 0-444-82375-1. .
  • Katok, A; Hasselblatt, B. «8». A: Introduction to the modern theory of dynamical systems (en anglès). Cambridge University Press, 1995.