Índex del punt fix

En matemàtiques, l'índex del punt fix és un concepte en la teoria topològica de punts fixos, i en particular la teoria de Nielsen. L'índex de punt fix es pot considerar com una mesura de multiplicitat per a punts fixos.

L'índex es pot definir fàcilment en la configuració d'anàlisi complexa: Sigui $f(z)$ un mapatge holomorf en el pla complex, i deixem que sigui un punt fix de $f$. Llavors la funció $f(z)-z$ és holomorfa, i té un zero aïllat en $z_{0}$. Definim l'índex de punt fix de $f$ en $z_{0}$, denotat $i(f,z_{0})$, per ser la multiplicitat del zero de la funció $f(z)-z$ en el punt $z_{0}$.

En l'espai euclidià real, l'índex de punt fix es defineix de la manera següent: Si $x_{0}$ és un punt fix aïllat de $f$, llavors fem que $g$ sigui la funció definida per

$g(x)={\frac {x-f(x)}{||x-f(x)||}}.$$x$

Llavors, $g$ té una singularitat aïllada en $x_{0}$, i fa un mapatge del límit d'algun veïnatge suprimit de $x_{0}$ a l'esfera unitat. Definim $i(f,z_{0})$ com el grau de Brouwer del mapatge induït per $g$ en una petita esfera convenientment seleccionada al voltant de $x_{0}$.

El teorema de Lefschetz-Hopf

La importància de l'índex de punt fix es deu principalment al seu paper en el teorema de Lefschetz-Hopf, que diu:

$\sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}i(f,x)=\Lambda _{f},$

on $\mathrm {Fix} (f)$ és el conjunt de punts fixos de $f$, i $\Lambda f$ és el nombre de Lefschetz de $f$.

Atès que el valor del costat esquerre de l'anterior és clarament zero quan $f$ no té punts fixos, el teorema de Lefschetz-Hopf implica trivialment el teorema del punt fix de Lefschetz.

Bibliografia

• Brown, Robert F. «Fixed Point Theory». A: History of Topology (en anglès), 1999, p. 271–299. ISBN 0-444-82375-1. .
• Katok, A; Hasselblatt, B. «8». A: Introduction to the modern theory of dynamical systems (en anglès). Cambridge University Press, 1995.