Aproximació de fase estacionària

En matemàtiques, l'aproximació de la fase estacionària és un principi bàsic de l'anàlisi asimptòtica, que s'aplica a funcions donades per integració contra una exponencial complexa que varia ràpidament.

Aquest mètode té el seu origen al segle XIX i es deu a George Gabriel Stokes i Lord Kelvin. Està estretament relacionat amb el mètode de Laplace i el mètode del descens més pronunciat, però la contribució de Laplace precedeix les altres.

Conceptes bàsics

La idea principal dels mètodes de fase estacionària es basa en la cancel·lació de sinusoides amb fases que varien ràpidament. Si molts sinusoides tenen la mateixa fase i se sumen, se sumaran constructivament. Tanmateix, si aquests mateixos sinusoides tenen fases que canvien ràpidament a mesura que canvia la freqüència, s'afegiran de manera incoherent, variant entre addició constructiva i destructiva en diferents moments.

Fórmula

Sigui $\Sigma$ el conjunt de punts crítics de la funció $f$ (és a dir, punts on $\nabla f=0$), en el supòsit que $g$ o té un suport compacte o té una decadència exponencial, i que tots els punts crítics són no degenerats (és a dir, $\det(\mathrm {Hess} (f(x_{0})))\neq 0$ per $x_{0}\in \Sigma$ ) tenim la següent fórmula asimptòtica, as $k\to \infty$ :

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }e^{ikf(x_{0})}|\det({\mathrm {Hess} }(f(x_{0})))|^{-1/2}e^{{\frac {i\pi }{4}}\mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f(x_{0})))}(2\pi /k)^{n/2}g(x_{0})+o(k^{-n/2})$

Aquí $\mathrm {Hess} (f)$ denota l'hessià de $f$, i $\mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f))$ denota la signatura de l'hessià, és a dir, el nombre d'autovalors positius menys el nombre d'autovalors negatius.

Per $n=1$, això es redueix a:

$\int _{\mathbb {R} }g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }g(x_{0})e^{ikf(x_{0})+\mathrm {sign} (f''(x_{0}))i\pi /4}\left({\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}\right)^{1/2}+o(k^{-1/2})$

En aquest cas els supòsits sobre $f$ reduir a tots els punts crítics no degenerats.

Aquesta és només la versió girada per Wick de la fórmula per al mètode de baixada més pronunciada.

Un exemple

Considereu una funció

$f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i[k(\omega )x-\omega t]}\,d\omega$

El terme de fase en aquesta funció, $\phi =k(\omega )x-\omega t$, està estacionari quan

${\frac {d}{d\omega }}{\mathopen {}}\left(k(\omega )x-\omega t\right){\mathclose {}}=0$

o equivalent,

${\frac {dk(\omega )}{d\omega }}{\Big |}_{\omega =\omega _{0}}={\frac {t}{x}}$

Les solucions d'aquesta equació donen freqüències dominants $\omega _{0}$ per a alguns $x$ i $t$. Si ens ampliem $\phi$ com una sèrie de Taylor sobre $\omega _{0}$ i descuidar termes d'ordre superiors a $(\omega -\omega _{0})^{2}$, tenim

$\phi =\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]+{\frac {1}{2}}xk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}+\cdots$

on $k''$ denota la segona derivada de $k$. Quan $x$ és relativament gran, fins i tot una petita diferència $(\omega -\omega _{0})$ generarà oscil·lacions ràpides dins de la integral, donant lloc a la cancel·lació. Per tant, podem estendre els límits d'integració més enllà del límit d'una expansió de Taylor. Si fem servir la fórmula,

$\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}icx^{2}}dx={\sqrt {\frac {2i\pi }{c}}}={\sqrt {\frac {2\pi }{|c|}}}e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}}$

$f(x,t)\approx {\frac {1}{2\pi }}e^{i\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]}\left|F(\omega _{0})\right|\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}ixk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}}\,d\omega$

Això s'integra com

$f(x,t)\approx {\frac {\left|F(\omega _{0})\right|}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\left|k''(\omega _{0})\right|}}}\cos \left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right]$