Obre el menú principal

Els axiomes de Hilbert són un conjunt de 20 (originalment 21) hipòtesis proposades per David Hilbert el 1899[1][2][3] com el fonament per a un tractament modern de la geometria euclidiana. Altres axiomatizar modernes ben conegudes de la geometria euclidiana són les degudes a Alfred Tarski ja George Birkhoff.

Els axiomesModifica

El sistema axiomàtic de Hilbert es compon de nou nocions primitives: tres termes primitius

i sis relacions primitives:

  • Ordre, una relació ternària entre punts;
  • Pertinença, tres relacions binàries, una d'elles entre punts i rectes, una altra entre punts i plans, i una altra entre rectes i plans;
  • Congruència, dues relacions binàries, una entre segment si una altra entre angles, denotades per  .

Noteu que els segments i els angulos (així com els triangles) no són nocions primitives, sinó que es defineixen en termes de punts i rectes utilitzant les relacions d'ordre i pertinença. Tots els punts, rectes i plans en els subsecuentes axiomes són diferents llevat que s'indiqui el contrari.

I. IncidènciaModifica

  1. Dos punts diferents   i   determinen una única recta  . Denotem   o  . En lloc de "determinen", es pot dir: "  és a  ", "  és un punt de   ","   passa per   i   ","   uneix   amb   ", etc. Si   és a   i al mateix temps en una altra recta  , es diu també "Les rectes   i   tenen el punt   en comú ", etc.
  2. Dos punts qualsevol d'una recta la determinen per complet, és a dir, si   i  , on en general  , aleshores   al seu torn.
  3. Tres punts  ,   i   no situats en una mateixa recta determinen un pla  . Es denota  , i es diu " ,   i   jeuen en   ", etc.
  4. Tres punts qualssevol  ,   i   del pla   no situats en una mateixa recta determinen per complet a  .
  5. Si dos punts  ,   de la recta   jeuen en el pla  , llavors tot punt de   rau en  . En aquest cas es diu "la recta   rau en el pla  ", etc.
  6. Si dos plans  ,   tenen un punt   en comú, llavors tenen almenys un altre punt   en comú.
  7. A cada recta hi ha almenys dos punts, en cada pla hi ha almenys tres punts no situats en la mateixa recta, i hi ha almenys quatre punts no situats en un mateix pla.

II. OrdreModifica

  1. Si un punt   està entre els punts   i  , també està llavors entre   i  , i hi ha una recta que conté a tots tres.
  2. Si   i   són dos punts d'una recta, hi ha almenys un altre punt   entre   i  , i almenys un punt   de manera que   està entre   i  .
  3. Donats tres punts en una recta, només un d'ells està entre els altres dos.
  4. Donada una parella de punts   i  , es pot parlar llavors del segment  . Els punts del segment   són tots aquells que estan entre   i  . Aquests dos són els extrems del segment.
  5. Axioma de Pasch: Siguin  ,   i   tres punts no situats en la mateixa recta i sigui   una recta continguda en el pla  , que no passa per cap dels tres punts esmentats. Llavors, si   passa per algun punt del segment  , aleshores passa també per algun punt o bé del segment   o bé del segment  .

Pot provar llavors que donades una recta   i un punt   en ella, pot dividir la recta en dues  , disjunts entre si, que emanen de  , com que la seva unió constitueix tota la recta a excepció de  . De la mateixa manera, donats un pla   i una recta   al, poden distingir-se en ell dos parts disjuntes, els costats de   respecte a  , on de nou la seva unió constitueix tot el pla a excepció de  .

III. Paral·lelesModifica

  1. En un pla   es pot trobar una única recta   que passi per un punt donat  , el qual no pertany a una recta donada  , de manera que   i   no tinguin cap punt en comú. Està recta es diu la paral·lela a   que passa per  .

IV. CongruènciaModifica

Es defineix un angle com una parella de semiraigs   jaient en un pla   que emanen del mateix punt  . Es demostra que es pot dividir llavors el pla en dues regions: l'interior i l'exterior de  , on   i   són els costats de l'angle i   seu vèrtex. El segment entre dos punts qualssevol de l'interior està contingut per complet en aquesta regió. Això no es compleix per a una parella de punts qualssevol a l'exterior.

Un triangle queda definit per tres segments de la forma  ,   i  . Aquests segments són els costats del triangle, i els tres punts  ,   i   són el seu vèrtexs. El triangle divideix el pla definit pels seus tres vèrtexs en interior i exterior, amb les mateixes propietats que en cas dels angulos. A l'angle definit pels dos semirayos que surten de   i que passen per   i   respectivament se li denota per  , i el seu interior conté tots els punts de l'interior del triangle  .

  1. Si  ,   són dos punts de la recta  , i   és un punt sobre la recta   (sigui aquesta igual a   o no), s'ha de, d'una banda qualsevol de   a la recta  , hi ha un únic   tal que el segment   és congruent amb el segment  , i el denotem per  . Tot segment és congruent amb si mateix.
  2. Si un segment   és congruent amb el segment   i també amb el segment  , llavors aquests dos últims són congruents entre si (la congruència entre segments és transitiva).
  3. Siguin   i   dos segments de la mateixa recta sense punts en comú a excepció de  , i siguin més   i   dos segments de la recta   (sigui aquesta igual o no a  ) sense més punts en comú que  . Llavors, si   i  , s'ha de  .
  4. Sigui un angle   al pla   i sigui una recta   al pla  . Suposem que en el pla  , s'escull un dels costats respecte a  . Sigui un semirayo   de   que emana d'un punt   d'aquesta recta. Llavors, en el pla   hi ha un únic semirayo   que surt de   de manera que   és congruent amb  , i de manera que tots els punts de l'interior de   són al costat escollit de  . Es denota per  . Tot angle és congruent amb si mateix.
  5. Si l'angle   és congruent amb l'angle   i amb l'angle  , llavors aquests dos són congruents entre si.
  6. Si donats dos triangles   i   es té  ,  ,  , aleshores es té al seu torn   i  .

V. ContinuïtatModifica

  1. Axioma d'Arquimedes. Sigui   un punt qualsevol d'una recta, situat entre els punts arbitraris   i   d'aquesta. Prenguin els punts  ,  ,... de tal manera que   estigui entre   i  ,   estigui entre   i  , etc. Suposem a més que els segments  ,  ,  ,... són tots congruents entre si. Llavors, en aquesta sèrie hi ha sempre un cert   tal que   està entre   i  .

Axioma de completesaModifica

Al sistema de punts, rectes i plans, no poden afegir altres elements de manera que el sistema resultant formi una geometria nova, obeint tots els axiomes dels cinc grups. En altres paraules, els elements de la geometria formen un sistema que no és susceptible d'extensió, prengué els cinc grups d'axiomes com a vàlids.

Axioma 21Modifica

Hilbert va introduir un axioma més que diu:

II.4. Teorema de Pasch. Poden escollir quatre punts qualssevol  ,  ,   i   d'una recta de manera que   estigui entre   i   i entre   i  , i que   estigui entre   i   i entre   i  .

ReferènciesModifica

  1. Sommer, Julius «Review: Grundlagen der Geometrie, Teubner, 1899». Bull. Amer. Math. Soc., 6, 7, 1900, pàg. 287–299. DOI: 10.1090/s0002-9904-1900-00719-1.
  2. Schweitzer, Arthur Richard «Review: Grundlagen der Geometrie, Third edition, Teubner, 1909». Bull. Amer. Math. Soc., 15, 10, 1909, pàg. 510–511. DOI: 10.1090/s0002-9904-1909-01814-2.
  3. Gronwall, T. H. «Review: Grundlagen der Geometrie, Fourth edition, Teubner, 1913». Bull. Amer. Math. Soc., 20, 6, 1919, pàg. 325–326. DOI: 10.1090/S0002-9904-1914-02492-9.

BibliografiaModifica