Bicorn (matemàtiques)

per al barret, vegeu Bicorn.

En geometria, el bicorn és una corba quàrtica racional és definida per l'equació

Bicorn

$y^{2}(a^{2}-x^{2})=(x^{2}+2ay-a^{2})^{2}.$

Té dues cúspides i és simètrica respecte de l'eix d'ordenades.

Història

El 1864, James Joseph Sylvester va estudiar la corba

$y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0$

en connexió amb la classificació d'equacions quíntiques; va anomenar la corba un bicorn perquè té dues cúspides. Arthur Cayley va ampliar l'estudi d'aquesta corba el 1867.

Propietats

El bicorn és una corba algebraica plana del grau quatre i de gènere zero. Té dos singularitats de cúspide a el pla real, i un punt doble al pla projectiu complex a x=0, z=0. Si es mou x=0 i z=0 a l'origen substituint i realitzant una rotació imaginària entorn de x però substituint ix/z per x i 1/z per y en la corba bicorn, s'obté

$(x^{2}-2az+a^{2}z^{2})^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.\,$

Aquesta corba, un cargol de Pascal, té un punt doble ordinari a l'origen, i dos nodes a el pla complex, a x = +mn; i z=1.

Un bicorn transformat amb a = 1

Vegeu també

• Llista de corbes

Referències

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications, 1972, p. 147–149. ISBN 0-486-60288-5. 
• "Bicorn" a The MacTutor History of Mathematics archive
• Weisstein, Eric W., «Bicorn» a MathWorld (en anglès).
• "Bicorne" a Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester. Vol. II Cambridge (1908) p. 468 (online)