Circumferència d'Apol·loni

La circumferència d'Apol·loni és el lloc geomètric dels punts la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant. A la figura, per a tots els punts $P$ del cercle, la raó ${\frac {AP}{BP}}=k$ és constant i la circumferència és el cercle d'Apol·loni dels punts $A$ i $B$ i la raó $k$.

Circumferència d'Apol·loni

---

El lloc geomètric és una circumferència

Que el lloc geomètric dels punts, la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant, és una circumferència es pot demostrar fàcilment: Siguin $A$ i $B$ els dos punts, $U$ i $V$ dos punts sobre la recta $AB$ que fan ${\frac {AU}{BU}}={\frac {AV}{BV}}=k$ i $P$ un punt fora de la recta $AB$ que també fa ${\frac {AP}{BP}}=k$. Ara considerem els segments $UP$ i $VP$ i els segments $AM$ i $AN$ que els són respectivament paral·lels. Segons el teorema de Tales,

${\frac {AU}{BU}}={\frac {MP}{BP}}\,,\qquad {\frac {AV}{BV}}={\frac {NP}{BP}}$

cosa que, amb les hipòtesis inicials, implica

$k={\frac {AU}{BU}}={\frac {AV}{BV}}={\frac {MP}{BP}}={\frac {NP}{BP}}={\frac {AP}{BP}}$

i, per tant, $MP=NP=AP$ i els triangles $APN$ i $APM$ són isòsceles. En conseqüència,

${\widehat {ANP}}={\widehat {NAP}}\,,\qquad {\widehat {AMP}}={\widehat {MAP}}$

però

${\widehat {ANP}}={\widehat {VPB}}\,,\qquad {\widehat {NAP}}={\widehat {APV}}$

i

${\widehat {AMP}}={\widehat {UPN}}\,,\qquad {\widehat {MAP}}={\widehat {UPA}}$

tot obtenint que

${\widehat {VPB}}={\widehat {APV}}$ i ${\widehat {UPN}}={\widehat {UPA}}$

En conseqüència, els segments $UP$ i $VP$ són perpendiculars i per tant, el punt $P$ és sobre el cercle de diàmetre $UV$, que és el cercle d'Apol·loni del cas.

Bibliografia

• Akopyan, A. V.; Zaslavsky, A. A.. Geometry of Conics. 26. American Mathematical Society, 2007, p. 57–62. ISBN 978-0-8218-4323-9. .
• Ogilvy, C. Stanley. Excursions in Geometry. Dover, 1990. ISBN 0-486-26530-7. .