Cinquè postulat d'Euclides
El postulat de les paral·leles o cinquè postulat d'Euclides en geometria, apareix al llibre d'aquest matemàtic grec, Els Elements (300 aC)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/V_postulato_di_euclide_anim.gif/220px-V_postulato_di_euclide_anim.gif)
La geometria euclidiana és l'estudi de la geometria que satisfà tots els axiomes d'Euclides, incloent el cinquè postulat La geometria que és independent del V postulat (és a dir, que assumeix els altres quatre primers) és coneguda com la geometria absoluta.
Enunciat
modifica
|
Formulacions equivalents al V postulat
modifica- La suma de [les mesures dels] angles de qualsevol triangle és igual a [la suma de les mesures de] dos angles rectes.
Elements, I, 32. (Proposició ja coneguda en temps d'Aristòtil, segle iv aC) - Les rectes paral·leles són equidistants (atribuït a Posidoni, segles I-II aC)
- Per un punt exterior a una recta donada només és possible traçar una paral·lela. Aquesta formulació és la més coneguda i es deu al matemàtic grec Procle. Es coneix també com el «postulat de les paral·leles» (o axioma de Playfair[1]).
- Dues rectes paral·leles guarden entre elles una distància finita.
- Les rectes no equidistants convergeixen en una direcció i divergeixen en l'oposada (Thābit ibn Qurra, cap a. 826-901).
- Tots els punts equidistants d'una línia recta, situats a un costat determinat d'aquesta, constitueixen una línia recta (Clavi, 1574).
- Sobre una recta finita sempre es pot construir un triangle similar a un triangle donat (Wallis, 1663).
- Existeix un parell de triangles no congruents, però similars (Saccheri, 1733).
- En tot quadrilàter que contingui tres angles rectes, l'angle quart també és recte. (Clairaut, 1741).
- Es pot construir un triangle l'àrea del qual sigui major que qualsevol àrea donada (Gauss, 1799).
- Donats tres punts no alineats, sempre serà possible construir un cercle que passi per tots ells (Legendre, 1824).
- No hi ha patró mètric absolut de longitud (Gauss, 1816).
La independència del V postulat i les geometries no euclídees
modificaUns 22 segles després que Euclides escrigués els Elements, finalment es va arribar a la conclusió: el V postulat és independent dels altres quatre. La prova de la independència del V postulat porta implícita la possibilitat que existeixin geometries consistents en les quals no es compleix aquest postulat. Al segle xix es dona conclusió al problema de la independència del V postulat. Ho fan de manera independent Bolyai i Lobatxevsky, encara que Gauss ja havia resolt el problema anteriorment (però no havia publicat els seus resultats). També amb anterioritat ho havia fet un matemàtic aficionat: Franz Taurinus, seguint els treballs de dos matemàtics del segle xviii, Girolamo Saccheri i Johann Heinrich Lambert.
El V postulat i la investigació geomètrica actual
modificaEn l'actualitat, la Geometria utilitza mètodes diferents al sintètic (establir una sèrie d'axiomes i deduir-ne les propietats geomètriques de l'objecte a estudiar), que han estat substituïts per mètodes topològics, analítics i algebraics. La qüestió sobre el V postulat va quedar aparcada a un problema històric, que va contribuir en gran manera al desenvolupament de la Geometria i actualment es tracta com un tema introductori dins l'estudi de la geometria.
Referències
modificaBibliografia
modifica- Weisstein, Eric W., de Euclides.html «EuclidsPostulates» a MathWorld (en anglès).
Enllaços externs
modificaA Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Cinquè postulat d'Euclides |
- Elements Arxivat 2012-04-20 a Wayback Machine. d'Euclides.