Conjectura de Casas-Alvero

conjectura en àlgebra de polinomis

En matemàtiques, la Conjectura de Casas-Alvero és una conjectura en el camp de l'àlgebra de polinomis. Pren el seu nom del matemàtic català Eduard Casas Alvero,[1] que va necessitar fer-ne servir l'enunciat l'any 2001 mentre treballava amb corbes planes complexes.[2] Va ser batejada pel matemàtic càntabre González Vega en un treball de 2006, on la demostrava per polinomis de grau baix.[3]

Eduard Casas-Alvero en una conferència sobre la conjectura que porta el seu nom.

EnunciatModifica

Sigui f un polinomi de grau d sobre un cos K de característica zero. Si f té un factor en comú amb totes les seves derivades f(i), i = 1, ..., d − 1 aleshores f ha de ser potència d'un factor lineal.

Enunciat formalModifica

Sigui   un cos de característica 0 i sigui   un polinomi de grau   tal que

 

Aleshores   té una única arrel de multiplicitat  . Més precisament, existeixen   i   tals que

 [4]

Enunciat formal alternatiuModifica

Sigui   un cos de característica 0 i sigui   un polinomi de grau   tal que existeixen   verificant

 

Aleshores   i, per tant,   té una única arrel de multiplicitat  . [4]

Polinomis de Casas-AlveroModifica

Arran d'aquesta conjectura, s'han anomenat polinomis de Casas-Alvero aquells polinomis les derivades dels quals tenen alguna arrel en comú amb el mateix polinomi. A partir d'aquesta definició, la conjectura es redueix a l'enunciat «tots els polinomis de Casas-Alvero són de la forma  ».

ReferènciesModifica

  1. Morales Medina, Miguel Ángel. «La conjetura de Casas-Alvero, contada por Eduardo Casas-Alvero». Gaussianos, 24-03-2011. [Consulta: novembre 2019].
  2. Casas-Alvero, Eduardo «Higher order polar germs». J. Algebra, 240, 2001, pàg. 326–337. DOI: 10.1006/jabr.2000.8727. ISSN: 0021-8693.
  3. Díaz-Toca, Gema M.; González-Vega, Laureano. «On analyzing a conjecture about univariate polynomials and their roots by using Maple». A: Maple conference 2006. Proceedings of the conference, Waterloo, Ontario, Canada, July 23–26, 2006. Waterloo: Maplesoft, 2006, p. 81–98. ISBN 1-897310-13-7. 
  4. 4,0 4,1 Vicedo, Juan Pablo. Universitat de Buenos Aires. Sobre la conjetura de Casas-Alvero (en castellà), Desembre 2015. 

BibliografiaModifica

  • Graf von Bothmer, Hans-Christian; Labs, Oliver; Schicho, Josef; van de Woestijne, Christiaan «The Casas-Alvero conjecture for infinitely many degrees». J. Algebra, 316, 2007, pàg. 224–230. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2007.06.017.
  • Draisma, Jan; de Jong, Johan P. «On the Casas-Alvero conjecture». Eur. Math. Soc. Newsl., 80, 2011, pàg. 29–33. ISSN: 1027-488X.
  • Castryck, Wouter; Laterveer, Robert & Ounaïes, Myriam (2012), "Constraints on counterexamples to the Casas-Alvero conjecture, and a verification in degree 12", arΧiv:1208.5404 [math.AG]