Contacte entre funcions

Siguin $f$ i $g$ dues funcions, es diu que aquestes dues funcions tenen contacte d'ordre superiror a $n$ en un punt, $a$, si la funció $h(x)=f(x)-g(x)$ és un infinitèsim d'ordre superior a $n$ quan $x\to a$. És a dir,

$f(x)-g(x)=o[(x-a)^{n}]$

o, de manera equivalent,

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{n}}}=0$

Siguin $f$ i $g$ dues funcions que tenen contacte d'ordre superior a $n$ en el punt $a$, aleshores també direm que la funció $g(x)$ és una aproximació d'ordre superor a $n$ de la funció $f(x)$ en el punt $a$.

Condicions necessàries i suficients pel contacte de dues funcions

Un teorema que ens dona una condició necessària i suficient per poder afirmar que dues funcions $f$ i $g$ tenen contacte d'ordre superior a $n$ és:

"Siguin $f$ i $g$ dues funcions $n$ vegades derivables en el punt $a$, aquestes funcions tenen un contacte d'ordre superior a $n$ en aquest punt si i només si $f^{(k)}(a)=g^{(k)}(a)$ per qualsevol valor de $0\leq k\leq n$."

Demostració

$\Longrightarrow$:

Primer cal notar que si $f$ és una funció $n$ vegades derivable, aleshores les funcions $f^{(k)}(x),\forall 0\leq k\leq n-1$ existeixen i són contínues en algun entorn del punt $a$. I, per tant, les funcions $f^{(k)}(x),\forall 0\leq k\leq n-2$ són dervables en algun entorn del mateix punt. ($f^{(n-1)}$ podria no ser derivable en cap entorn ja la nostra hipòtesi només demana que $f^{(n-1)}$ sigui derivable en el punt $a$, no que existèixi la funció $f^{(n)}(x)$.)

A continuació hem de notar que, si dues funcions tenen un contacte d'ordre superior a $n$ en un punt, aleshores tenen un contacte d'ordre superior a $k\leq n$ en aquest punt.

Demostrem primer que es compleix per $n=0$. Suposem les funcions $f$ i $g,n$ vegades derivables en el punt $a$ i que tenen un contacte d'ordre superior a 0. Aleshores:

$0=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{0}}}=\lim _{x\to a}{\big (}f(x)-g(x){\big )}=f(a)-g(a)\Longrightarrow f(a)=g(a)$

On hem fet servir que, per continuïtat $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$. Suposem ara que l'enunciat és cert per a $k=m-1$, demostrem que aleshores és cert per a $k=m,\forall m\leq n-1$. Per hipòtesi $f$ i $g$ tenen contacte d'ordre superior a $m$. És a dir,

$0=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{m}}}$

Però això vol dir, com hem vist abans, que $f$ i $g$ tenen contacte d'ordre superior a $m-1$ i, per tant, $f^{(k)}(a)=g^{(k)}(a),\forall 0\leq k\leq m-1$. I, en concret $\lim _{x\to a}{\Big (}f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x){\Big )}=0,\forall 0\leq k\leq m-1$. Per tant el límit anterior és ${\bigg [}{\frac {0}{0}}{\bigg ]}$, aplicant les regles de L'Hôpital tenim:

$0=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{m}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)-g'(x)}{(m)(x-a)^{m-1}}}={\bigg [}{\frac {0}{0}}{\bigg ]}$

Aplicant Hôpital de nou (reiteradament):

$0=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{m}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)-g'(x)}{(m)(x-a)^{m-1}}}=...=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(m)}(x)-g^{(m)}(x)}{m!}}={\frac {f^{(m)}(a)-g^{(m)}(a)}{m!}}\Longrightarrow f^{(m)}(a)=g^{(m)}(a)$

Queda així demostrat l'enunciat per a tot $k<n$. Falta demostra-ho també quan $k=n$. Començem igual que le raonament anterior:

$0=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{n}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)-g'(x)}{n(x-a)^{n-1}}}=...=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n-1)}(x)-g^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)}}$

Aquí no és possible tornar a aplicar Hôpital, ja que aquesta regla només és aplicable quan, tant el numerador com el denominador, són derivables en algun entorn del punt $a$, i com s'ha vist, $f^{(n-1)}(x)-g^{(n-1)}(x)$ no té perquè ser-ho. Tot i així, com que ja hem demostrat que $f^{(n-1)}(a)-g^{(n-1)}(a)=0$,és possible calcular aquest límit de la següent manera:

$0=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n-1)}(x)-g^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)+g^{(n-1)}(a)-g^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)}}={\frac {1}{n!}}{\Bigg [}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)}{(x-a)}}-\lim _{x\to a}{\frac {g^{(n-1)}(x)-g^{(n-1)}(a)}{(x-a)}}{\Bigg ]}$

Però aquest última expressió és, per definició

$0={\frac {1}{n!}}[f^{(n)}(a)-g^{(n)}(a)]\Longrightarrow f^{(n)}(a)=g^{(n)}(a)$

$\Longleftarrow$ Suposem que $f^{(k)}(a)=g^{(k)}(a),\forall 0\leq k\leq n$, aleshores ja hem vist que, per Hôpital.

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(a)-g^{(n)}(a)}{n!}}=0$

Per tant, les funcions $f$ i $g$ tenen contacte superior a $n$.

Exemples

Sigui $f(x)$ una funció qualsevol i $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$la recta tangent a aquesta funció en el punt $a$. Aleshores

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-y(x)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-[f(a)+f'(a)(x-a)]}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-f'(a)=f'(a)-f'(a)=0$

i, per tant, $y(x)$ és una aproximació d'ordre superior a 1 en el punt $a$.

Vegeu també

• Derivada
• Teorema de Taylor
• Aproximació lineal

Bibliografia

• Ortega, Joaquín M. Introducció a l'anàlisi matemàtica. Universitat Autònoma de Barcelona, Servei de Publicacions, 2002. ISBN 84-490-2271-1.