Convergència (successió matemàtica)

En anàlisi matemàtica, el concepte de convergència es refereix a la propietat que tenen algunes successions númèriques a tendir a un límit. Aquest concepte és molt general i depenent de la naturalesa del conjunt en què es troba definida la successió, pot adoptar diferents formes.

DefinicióModifica

Una successió d'elements   d'un espai mètric   convergeix a un element   si per a qualsevol nombre real  , existeix un enter positiu   (que depèn de  ) que

 

S'acostuma a escriure com

 

o també

 

o simplement

 

Intuïtivament, això vol dir que els elements   de la successió poden ser tan propers a   com vulguem si   és prou gran, ja que   determina la distància entre   i  . A partir de la definició, es pot demostrar que si una successió convergeix, ho fa cap a un únic límit.

Aquesta definició s'aplica en els casos concrets dels espais vectorials normats i dels espais amb producte intern. En el cas d'un espai normat  , la norma   indueix la mètrica   per cada  ; en el cas dels espais amb producte intern  , el producte intern   indueix la norma   per cada  .

ExemplesModifica

  • Successions a   o  

Els conjunts dels nombres reals   i dels nombres complexos   es construeixen en un espai mètric per mitjà del valor absolut: per a cada parella d'elements   o  , la funció   determina una mètrica.

Per tant, una successió   en   convergeix a un   si per qualsevol  , existeix un enter   tal que

 

Alguns exemples poden ser:

  • La successió constant definida per   per a tots els valors de  , on  . Aquesta successió convergeix a   ja que:
 
  • La successió  . Aquesta successió convergeix a zero, ja que per la propietat arquimediana dels nombres reals, per cada  , existeix un nombre natural   tal que  , i per tant, si   i llavors:
 
  • La successió de l'exemple anterior és un cas particular d'un resultat més general. Si  
 
  • Si  , llavors  
  • La successió  . En aquest cas no convergeix, sinó que els valors oscil·len en  
  • Donat que   (en particular  ) està dotat de l'operació suma (cosa que no passa en tots els espais mètrics), a cada successió   a   (en particular  ) és possible associar-li la successió de sumes parcials
 
La successió   s'expressa com
 
i se l'anomena sèrie infinita. En el cas que la successió de sumes parcials convergeixi,  , es diu que és una sèrie convergent i s'escriu
 
En cas contrari, pot ser una sèrie divergent o bé una sèrie oscil·latòria. Exemples clàssics de sèries convergents, divergents i oscil·latòries són
 
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Convergència