Espai vectorial normat

A matemàtica un espai vectorial es diu que és normat si s'hi pot definir una norma vectorial. Podem assenyalar els següents fets que ajuden a comprendre la importància del concepte d'espai normat:

• En un espai euclidià, la norma coincideix precisament amb la longitud del vector.
• Tot espai vectorial normat és un espai mètric amb la distància induïda per la norma.
• Si l'espai vectorial és a més complet es diu que és un espai de Banach.

Definició

Un espai vectorial V sobre un cos $\mathbb {K}$ en el qual es defineix un valor absolut (generalment $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$) es diu que és normat si en ell es pot definir una norma, és a dir, una aplicació $||.||:V\rightarrow \mathbb {R}$, que verifica:

1. No negativitat. Per a tot ${\vec {x}}$ de $\mathbf {V}$ la seva norma ha de ser positiva, i serà zero si i només si ${\vec {x}}$ és el vector zero: $0<||{\vec {x}}||$ si ${\vec {x}}\neq {\vec {0}}$ i $||{\vec {x}}||=0\Longleftrightarrow {\vec {x}}={\vec {0}}$.
2. Homogeneïtat. Per a tot ${\vec {x}}$ de $\mathbf {V}$ i per a tot k de $\mathbb {K}$ se satisfà que $||k{\vec {x}}||=|k|$ · $||{\vec {x}}||$ on $|.|$ és el mòdul o valor absolut.
3. Desigualtat triangular. Per a tots ${\vec {x}}$ e ${\vec {y}}$ de $\mathbf {V}$ es compleix que $||{\vec {x}}+{\vec {y}}||\leq ||{\vec {x}}||+||{\vec {y}}||$.

Generalment es denotarà a $(V,||.||)$ l'espai vectorial normat i quan la norma sigui clara simplement per $V$.

Exemples

De dimensió finita

• $\mathbb {R}$
• L'espai euclidià $\mathbb {R} ^{n}$.
• Les matrius quadrades d'ordre n sobre $\mathbb {R}$: $M_{n}\left(\mathbb {R} \right)$

Distància induïda

En tot espai vectorial normat V es pot definir la distància $d:V\times V\rightarrow \mathbb {R}$:

$d(x,y):=||x-y||\,$

amb la qual (V, d) és un espai mètric.

La distància és invariant per translació : si x, y, z són elements de V :

$d(x+z,y+z)=d(x,y)$

Espais vectorials normats de dimensió finita

Es compleixen els següents resultats (que generalment no són certes per a espais de dimensió infinita):

• Totes les normes definides en l'espai són equivalents, és a dir, defineixen la mateixa topologia. La convergència o divergència d'una successió no depèn de la norma escollida. El resultat no és cert per a espais de dimensió infinita sent sempre hi ha dues normes que no són equivalents.
• L'espai és complet, és a dir, és un espai de Banach. Com a conseqüència, tot subespai de dimensió finita d'un espai vectorial normat (no necessàriament de dimensió finita) és tancat.
• Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunt de l'espai vectorial és compacte si i només si és tancat i acotat.
• Tot funcional lineal és continu (si l'espai vectorial normat té dimensió infinita, hi ha funcionals lineals no continus).
• Un espai vectorial normat és de dimensió finita si i només si la bola unitat és compacta.