En topologia i altres branques de la matemàtica, un conjunt tancat és un conjunt el complementari del qual és un obert.

Definició d'un conjunt tancat

modifica

Donat un espai topològic  , un conjunt   és tancat si el seu complementari   (també simbolitzat per Cc) és un conjunt obert de la topologia  .

Això es pot expressar d'altres formes equivalents. com ara:

Propietats dels conjunts tancats

modifica
  • La intersecció d'un nombre arbitrari de conjunts tancats és tancat.
  • La unió d'un nombre finit de conjunts tancats és tancat.
  • El conjunt buit i el conjunt total són tancats.

La propietat de la intersecció permet definir l'adherència d'un conjunt A dins un espai X, denotada per  , com el subconjunt tancat de X més petit i que conté A: aquest conjunt és la intersecció de tots els conjunts tancats que inclouen A.

Altres propietats d'interès són:

Exemples de conjunts tancats

modifica
  • Qualsevol subconjunt finit de punts de la recta real amb la topologia euclidiana.
  • L'interval tancat [a,b] dels nombres reals amb la topologia euclidiana és tancat: el seu complementari   és obert.
  • El conjunt [0,1] ∩ Q dels nombres racionals entre 0 i 1 (ambdós inclosos) és tancat en l'espai dels nombres racionals amb la topologia euclidiana. En canvi, [0,1] ∩ Q no és tancat en els reals amb la topologia euclidiana.
  • Tot conjunt és tancat en un espai amb la topologia discreta.
  • L'el·lipse de regió   és un conjunt tancat amb la topologia habitual del pla.

Vegeu també

modifica