Obre el menú principal

Els espais topològics són els principals objectes de treball en la disciplina matemàtica de la topologia.[1] Un espai topològic es defineix com un conjunt de punts, juntament amb un conjunt de veïnats per a cada punt, que satisfà un conjunt d'axiomes que relacionen els punts i els veïnats. La definició d'espai topològic es basa en la teoria de conjunts i és la noció més general d'un espai matemàtic que permet la definició de conceptes com la continuïtat, la connexió i la convergència.[2] Altres espais, com varietats i espais mètrics, són especialitzacions d'espais topològics amb estructures i restriccions addicionals.

DefinicióModifica

Per obertsModifica

És la definició més emprada habitualment. Donat un conjunt   qualsevol, considerem un cert subconjunt   del conjunt de les parts d' . Diem que   és una topologia d'  si es compleix que:

  1.  
  2. Donada una família arbitrària d'elements de la topologia,  , aleshores la seva reunió també hi pertany:  .
  3. Donada una família finita d'elements de la topologia  , aleshores la seva intersecció també hi pertany  .

Un espai topològic és un parell ordenat  , format per un conjunt   i una topologia  .

Dels elements de   en direm oberts.

Direm que un subconjunt   d'  és un tancat si el seu complementari és obert, és a dir,  

Per tancatsModifica

De manera anàloga es pot definir una topologia per tancats. Donat un conjunt   qualsevol, considerem un cert subconjunt   del conjunt de les parts d' . Direm que   és un espai topològic si es compleixen:

  1.  
  2. Donada una família finita d'elements de la topologia  , aleshores la seva reunió també hi pertany:  .
  3. Donada una família arbitrària d'elements de la topologia  , aleshores la seva intersecció també hi pertany  .

En aquest cas, als elements de   els anomenarem tancats, i direm que   és obert si el seu complementari és tancat, és a dir,  

ExemplesModifica

Topologia trivial (o grollera)Modifica

Sigui   un conjunt qualsevol, considerem  :

  • És evident que  .
  • Si prenem famílies arbitràries d'elements de  , només tenim una tria;  .
  • Finalment, si fem una intersecció finita d'elements de  , només podem prendre  .

  és, doncs, una topologia. Aquesta topologia s'anomena topologia trivial o grollera. Per a qualsevol altra topologia   sobre  , tenim que  . Diem que   és la topologia més grollera (o la menys fina).

Topologia discretaModifica

Sigui   un conjunt qualsevol, considerem  , el conjunt de les parts de  . És a dir, forma part de   qualsevol subconjunt de  .

  • Donat que   i  ,  
  • Prenent una família arbitrària  ,  .
  • Prenent una família finita  ,  .

Aquesta topologia s'anomena topologia discreta. Per a qualsevol altre topologia   sobre  , tenim que  . Diem que   és la topologia més fina.

A partir d'un espai mètricModifica

Qualsevol espai mètric   indueix una topologia en  . Definim   de la següent manera:

 .

Diferents espais mètrics poden induir el mateix espai topològic (ja que generen els mateixos oberts). Per exemple, l'espai topològic usual (o euclidià) en  és un cas d'espai topològic induït per un espai mètric  , però és idèntic a l'espai topològic induït per la distància del màxim  .

La topologia discreta és la topologia induïda per la distància discreta.

Aplicacions contínuesModifica

La continuïtat d'una aplicació és un concepte essencialment topològic, tot i que s'empra en altres àmbits d'estudi com l'anàlisi. Anem a definir aquest concepte.

Siguin   i   dos espais topològics, i   una aplicació. Direm que   és contínua   si i només si   la seva antiimatge  . És a dir, si per a qualsevol obert del conjunt d'arribada, la seva antiimatge és un obert del conjunt de partida.

Interior, adherència i fronteraModifica

InteriorModifica

Article principal: Interior (topologia)

Sigui   un espai topològic, i   un subconjunt de  . Anomenem interior de   al conjunt  . (La unió de tots els oberts que hi estan continguts)

És fàcil veure que l'interior compleix les següents propietats:

  1.  , l'interior està contingut en  .
  2.  , l'interior és un obert de  .
  3. Sigui   tal que  . Aleshores,  . És a dir,   és el major obert contingut en  .

I també:

  1.  
  2.  
  3.  

AdherènciaModifica

Article principal: Adherència

Sigui   un espai topològic, i   un subconjunt de  . Anomenem adherència de   al conjunt de  . (La intersecció de tots els tancats que el contenen)

Pel pas al complementari de les propietats de l'interior, veiem que:

  1.  , l'adherència conté  .
  2.  , l'adherència és un tancat de  .
  3. Sigui   tal que  . Aleshores,  . És a dir,   és el menor tancat que conté a  .

I també:

  1.  
  2.  
  3.  

Addicionalment, podem relacionar l'adherència amb l'interior com  

FronteraModifica

Article principal: Frontera (topologia)

Anomenem frontera al conjunt  

Es compleix que:  

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espai topològic  
  1. «espai topològic». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  2. Schubert 1968, p. 13