Revestiment topològic

Siguin $X$ i $Y$ dos espais topològics: una aplicació contínua surjectiva $p:Y\rightarrow X$ és un revestiment topològic si cada punt $x\in X$ té un entorn obert ${\mathcal {U}}$ tal que la restricció de $p$ a cada component connexa ${\mathcal {V}}_{e}$ de $p^{-1}({\mathcal {U}})$ és un homeomorfisme de ${\mathcal {V}}_{e}$ sobre ${\mathcal {U}}$.

Recordem que una aplicació contínua $p:Y\rightarrow X$ té la propietat de l'elevament de les corbes si, per a cada corba $\gamma :[0,1]\rightarrow X$ e cada $y\in p^{-1}(\gamma (0))$ existeix una corba ${\tilde {\gamma }}:[0,1]\rightarrow Y$ tal que $p\circ {\tilde {\gamma }}=\gamma$ e ${\tilde {\gamma }}(0)=y$.

El resultat següent és estàndard: (vegeu per exemple KLA, secció 9.3): Un homeomorfisme local surjectiu entre dos espais topològics és un revestiment topològic si i només si té la propietat de l'elevament de les corbes.

Referències

KLA: Klaus Jänich: Topology, Springer Verlag, 1994.