Clausura topològica

En un espai topològic $(X,\tau )$, la clausura o adherència d'un subconjunt $E\subseteq X$ és el conjunt:

${\bar {E}}=\{x\in X\;|\;\forall \,{\mathcal {N}}(x):{\mathcal {N}}(x)\cap E\neq \emptyset \}$

on ${\mathcal {N}}(x)$ és el símbol d'un veïnat de x. Per tant, un punt de $x\in X$ pertany a la clausura d'un subconjunt si tot entorn del punt interseca el subconjunt. En este cas, $x$ es tracta d'un punt adherent de $E$.

Per a denotar l'adherència d'un subconjunt $E$, són d'ús comú les notacions ${\bar {E}}$, $\operatorname {cl} E$ i $\operatorname {ad} E$.

Propietats

Per a un espai topològic $(X,\tau )$ i un subconjunt $S$, la clausura $\operatorname {cl} S$ satisfà les següents propietats:

• $S\subseteq \operatorname {cl} S$.
• $\operatorname {cl} S$ és un conjunt tancat.
• Si $C$ és un conjunt tancat tal que $S\subseteq C$, aleshores $\operatorname {cl} S\subseteq C$.
• $S$ és tancat si i només si $\operatorname {cl} S=S$.
• Si $S\subseteq T$, aleshores $\operatorname {cl} S\subseteq \operatorname {cl} T$.
• La clausura és idempotent: $\operatorname {cl} (\operatorname {cl} S)=\operatorname {cl} S$.
• $\operatorname {cl} (S\cup T)=\operatorname {cl} S\cup \operatorname {cl} T$.
• $\operatorname {cl} (S\cap T)\subseteq \operatorname {cl} S\cap \operatorname {cl} T$.

Exemples

• Per a qualsevol espai topològic, $\operatorname {cl} \emptyset =\emptyset$ i $\operatorname {cl} X=X$.
• Amb la mètrica usual en $\mathbb {R}$, $\operatorname {cl} (]a,b[)=[a,b]$.
• Els nombres racionals i els irracionals són densos en $\mathbb {R}$: $\operatorname {cl} \mathbb {Q} =\operatorname {cl} (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )=\mathbb {R}$.
• En un espai topològic discret, $\operatorname {cl} S=S$.
• En la topologia trivial, $\operatorname {cl} S=X$ si $S\neq \emptyset$.
• En els espais de Hausdorff i en la topologia cofinita, si $S$ és finit, $\operatorname {cl} S=S$.

Vegeu també

• Punt adherent
• Interior
• Frontera