Obre el menú principal

Definició formalModifica

Sigui   un conjunt,   el conjunt dels nombres reals. Una distància   en   és una aplicació:

 

que verifica  :

1.   no negativitat o separabilitat
2.   identitat dels indiscernibles
3.   simetria
4.   subadditivitat o desigualtat triangular

Un espai mètric és un parell ordenat  amb   un conjunt i   una distància sobre  . Als elements de   se'ls anomena punts.

Es pot prescindir de l'axioma 1, ja que es pot deduir dels altres 3:

  Per la desigualtat triangular
  Per la identitat dels indiscernibles
  Per la simetria
  Tenim la separabilitat

Exemples d'espais mètricsModifica

Exemple 1. El conjunt dels nombres reals   amb la distància euclidiana  .

Exemple 2. Com a conjunt,  amb la distància euclidiana  . L'exemple 1 és el cas particular n = 1. Per demostrar la desigualtat triangular amb la distància euclidiana, es necessita la Desigualtat de Cauchy-Schwarz.

Exemple 3. Qualsevol conjunt   amb la distància  . Aquesta distància, anomenada distància discreta, és vàlida per a qualsevol conjunt, demostrant que tot conjunt admet, com a mínim, una mètrica.

Exemple 4. Qualsevol mètrica, per tal d'evitar els valors  , permet una reescalació a una mètrica finita, definint, per exemple,  , els dos espais mètrics són equivalents des d'un punt de vista topològic.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espai mètric  

Caracterització d'un espai mètricModifica

Convé definir alguns conceptes que ens permetin caracteritzar un espai mètric, o bé comparar espais mètrics entre si.

Boles obertesModifica

Sigui   un espai mètric,   un punt de  , i   un nombre real positiu. Es defineix la bola oberta de radi   centrada en  , , com el conjunt:

 .

És a dir, la bola oberta de radi   centrada en   conté tots els punts   tals que la seva distància al punt  és menor que  .

Propietats de les boles obertesModifica

  1.  
  2. Sigui  . Aleshores,  . Dit d'altra manera, donat un punt qualsevol   de la bola oberta  , és possible trobar un radi   prou petit tal que la bola oberta   està continguda en  .
  3. Siguin   i   tals que  , i sigui   qualsevol. Aleshores,  . En altres paraules, donades dues boles amb intersecció no buida, és possible prendre un punt   de la intersecció i trobar un radi   prou petit perquè la bola oberta   també està continguda en la intersecció de les altres dues.

Demostracions de les propietatsModifica

  1. Qualsevol bola oberta conté el seu centre  .
  2. Sigui   i prenem  . Si  , es dedueix de la desigualtat triangular que  . Així doncs, la distància entre qualsevol   i el punt   és menor que  , i per tant  .
  3. Per la propietat (2), existeixen  . És suficient prendre  .

EntornsModifica

Sigui   un espai mètric i   un punt de  . Un subconjunt   és un entorn de   si existeix un   tal que  . Menys formalment, un subconjunt   és entorn d'un punt   si és possible trobar un radi prou petit perquè existeixi una bola centrada en   i continguda en  .

Oberts (i tancats)Modifica

Sigui   un espai mètric i   un subconjunt  . Diem que   és un obert de   si, per a tot   existeix   tal que  . Alternativament,   és un obert si és entorn de tots els seus punts. Un tancat és un conjunt tal que el seu complementari és obert.

Propietats dels obertsModifica

  1.   són oberts
  2. Sigui   una família arbitrària d'oberts. Aleshores,   és un obert.
  3. Sigui   una famïlia finita d'oberts. Aleshores,   és un obert.

Demostració de les propietatsModifica

  1. Donat que   no té elements, és obert (tots els seus elements compleixen la definició, ja que no en té). Qualsevol bola oberta, per definició, està continguda en  , i per tant,   és un obert.
  2.   si i només si   tal que  . Aleshores, com que   és un obert,   tal que  .  és un obert ja que  .
  3.  si i només si  ,  . Com que els   són obert, per a cadascun d'ells,   tal que  . Prenent  , es té que  ,  . Per tant,  .

Cal notar que en la demostració de la propietat 3, la finitud de la famíia d'oberts es demana per a assegurar l'existència del mínim dels radis. Un contraexemple fàcil per veure que amb una família infinita pot no complir-se la propietat 3 és prendre com a conjunt els nombres reals dotats amb la distància euclidiana, i com a família infinita d'oberts  . Aleshores, la intersecció   no és un obert.

Propietats dels tancatsModifica

Són fàcils de demostrar, ja que només cal fer el pas al complementari.

  1.   són tancats.
  2. Sigui   una família finita de tancats. Aleshores,   és un tancat.
  3. Sigui   una família arbitrària de tancats. Aleshores,   és un tancat.

Oberts (o tancats) en espais topològicsModifica

Quan es generalitza el concepte d'espai mètric a espai topològic, serà un conjunt de subconjunts de   anomenat topologia, al qual se li demana complir les tres propietats anteriors, el que dotarà d'estructura el conjunt  . Als elements de la topologia se'ls anomenarà, igualment, oberts (o tancats), ja que per als espais topològics metritzables coincidiran amb els oberts (o tancats) de l'espai mètric respectiu.

Aplicacions contínuesModifica

Sigui  una aplicació entre espais mètrics. Diem que   és contínua en   si,

 .

És a dir, si per tota bola oberta en   centrada en  , existeix una bola oberta en   centrada en   i la segona està continguda en la primera.

Direm que una aplicació és contínua si ho és en tots els punts de  .

Algunes proposicions i teoremes amb aplicacions contínuesModifica

Proposició 1. Sigui   una aplicació entre espais mètrics. Aleshores,   és contínua en   si i només si l'antiimatge d'un entorn qualsevol   de   és un entorn de  .

Demostració:

 ) Suposem que   és contínua en  . Com que   és un entorn de  , existeix un   tal que  . Degut a la continuïtat de   en  , hi ha un   tal que:

 .

Per tant,   és un entorn de  .

 ) Suposem ara que  , essent   un entorn qualsevol de  , és un entorn de  . Com que   és un entorn de  ,   és un entorn de  . És a dir, hi ha un   tal que   i per tant   és contínua en  .  

Teorema 1. Sigui   una aplicació entre espais mètrics. Aleshores,   és contínua en   si i només si l'antiimatge d'un obert qualsevol   de   és un obert de  .

La demostració és senzilla mitjançant la proposició 1, ja que un obert és entorn de tots els seus punts.

És important notar, donat aquest teorema, que la continuïtat de les aplicacions entre espais mètrics no depèn directament de la mètrica, sinó dels oberts que produeixen. Així, dues distàncies que produeixin els mateixos oberts, produiran també les mateixes aplicacions contínues. Això mostra que la continuïtat és un concepte topològic i no mètric.