Geometria diferencial

En matemàtiques, la geometria diferencial és la utilització de les eines del càlcul diferencial a l'estudi de la geometria. Els objectes d'estudi són les varietats diferencials, que tenen una estructura suficient per poder introduir la noció de derivació, i també, les funcions definides en aquestes varietats.

La geometria diferencial troba la seva principal aplicació física en la teoria de la relativitat on permet la modelització d'una curvatura de l'espaitemps. Es pot igualment citar altres aplicacions de la física clàssica. En la mecànica dels medis continus, per exemple, és útil en la descripció de les deformacions dels cossos elàstics, en particular, de les bigues o de les estructures.

Punts de vista intrínsecs i extrínsecs

Fins a mitjans del segle xix, la geometria diferencial tenia essencialment un punt de vista extrínsec respecte de les varietats trobades, això significa que eren definides com un subconjunt d'un espai vectorial (normalment $\mathbb {R} ^{n}\,$ ). Per exemple, s'estudiava les propietats d'una corba en el pla, o d'una superfície en l'espai de dimensió tres (geometria diferencial clàssica).

Els treballs de Bernhard Riemann van introduir una visió intrínseca de les varietats, constantment desenvolupada posteriorment. A partir d'aleshores, són considerades com un objecte en si mateix, i no com a part d'un altre. Ja no té sentit voler sortir de la varietat, perquè per ella sola ja té prou consistència, independentment de qualsevol noció d'espai circumdant, i per tant es podrà donar un sentit a les nocions de tangència,curvatura, etc.

El punt de vista intrínsec té l'avantatge de ser molt més flexible que el punt de vista extrínsec, ni que sigui pel fet que no obliga a trobar un espai que pugui contenir la varietat considerada, cosa que a vegades pot ser difícil. Per exemple, l'ampolla de Klein és una superfície (és a dir, una varietat de dimensió 2) però per tal de submergir-la en un espai circumdant cal escollir $\mathbb {R} ^{4}\,$ . Fins i tot, no és evident que es pugui trobar un espai continent de l'espaitemps corbat. Tanmateix, la flexibilitat guanyada es tradueix en una major abstracció i dificultat per poder definir nocions geomètriques com la curvatura, o topològiques com la connexitat.

Explicació matemàtica

La geometria diferencial abasta l'anàlisi i l'estudi de diferents conceptes:

l'estudi de varietats
els fibrats tangents i cotangents
les formes diferencials
les derivades exteriors
les integrals de les P-formes sobre les P-varietats
el teorema de Stokes
les derivades de Lie
la curvatura

Tots aquests conceptes estan relacionats amb l'anàlisi de variables múltiples, però, en les aplicacions geomètriques, cal raonar sense preferir un determinat sistema de coordenades. Aquesta diversitat de conceptes de la geometria diferencial es pot veure dins la naturalesa geomètrica de la derivada segona, és a dir, en les característiques de la curvatura.

Una varietat diferencial en un espai topològic és un conjunt d'homeomorfismes dels conjunts oberts en una esfera unitària $\mathbb {R} ^{n}\,$ , tals que els conjunts oberts cobreixen l'espai i que si $f,g\,$ són homeomorfismes llavors la funció $f^{-1}\circ g\,$ d'un subconjunt obert de l'esfera unitària cap a l'esfera oberta unitària és infinitament diferenciable. És a dir, que la funció d'una varietat cap a R és infinitament diferenciable si la composició de cada homeomorfisme és el resultat d'una funció infinitament diferenciable a partir de l'esfera unitària a R.

En cada punt de la varietat es troba un espai tangent en aquest punt, constituït per totes les velocitats (direcció i intensitat) possibles i amb les quals és possible apartar-se d'aquest punt. Per a una varietat n-dimensional, l'espai tangent en cada un dels punts és un espai vectorial de n dimensions o, en altres termes, una còpia de $\mathbb {R} ^{n}\,$ . L'espai tangent té diverses definicions. Una definició possible és l'espai vectorial dels camins que passen per aquest punt, factoritzat per la relació d'equivalència que identifica dos camins que tenen el mateix vector velocitat en aquest punt (és a dir, la mateixa derivada si s'opera amb qualsevol identificador).

Un camp de vectors és una funció d'una variable respecte la unió disjunta dels seus espais tangents (la unió amb si mateixa és una varietat coneguda com el fibrat tangent) de forma que, en cada punt, el valor obtingut és un element de l'espai tangent en aquest punt. Una tal relació s'anomena secció d'una fibrat. Un camp vectorial és diferenciable si per a cada funció diferenciable, l'aplicació del camp en cada punt produeix una funció diferenciable. Els camps vectorials poden ser percebuts com a equacions diferenciables independents del temps. Una funció diferenciable dels reals sobre la varietat és una corba de la varietat. Això defineix una funció dels reals sobre els espais tangents: la velocitat de la corba en cada un dels punts que la constitueixen. Una corba és una solució del camp vectorial si, per a cada punt, la velocitat de la corba és igual al camp vectorial en aquest punt.

Una k-forma lineal alternada és un element de la $k^{e}\,$ potència d'un tensor antisimètric de l'espai dual $E^{*}\,$ d'un espai vectorial $E\,$ . Una k-forma diferencial d'una varietat és una opció, en cada punt de la varietat, de la dita k-forma alternada on $E\,$ és l'espai tangent en aquest punt. Serà diferenciable si el resultat després d'una operació sobre $k\,$ -camps vectorials diferenciables és una funció diferenciable de la varietat cap als reals.

Branques de la topologia i de la geometria diferencials

Geometria de les varietats de contacte

És semblant a la geometria simplèctica que treballa amb les varietats que tenen dimensió senar. A grans trets, l'estructura de contacte d'una varietat de dimensió $(2n+1)\,$ és una tria d'una forma diferencial $\alpha \,$ tal que $\alpha \wedge (d\alpha )^{n}\,$ no s'anul·la en cap punt.

Geometria de Finsler

La geometria de Finsler, deguda al matemàtic suís Paul Finsler, fa de la varietat de Finsler el seu principal objecte d'estudi. És una varietat diferencial proveïda de la mètrica de Finsler, això és una norma de Banach definida en cada espai tangent. La mètrica de Finsler dona una estructura més general que la mètrica de Riemann.

Geometria de Riemann

La geometria de Riemann estudia les varietats de Riemann, varietats amb una estructura suplementària que les fa aparèixer com l'espai euclidià amb un punt de vista infinitesimal. Permeten generalitzar la noció de la geometria euclidiana i l'anàlisi del gradient d'una funció, la divergència, la longitud de la corba, etc. sense sortir del principi que l'espai és globalment simètric.

Topologia simplèctica

Tracta de les varietats simplèctiques, això és, varietats diferenciables proveïdes d'una forma simplèctica.

Bibliografia

A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volums), 3a Edició de Michael Spivak (1999)
Differential Geometry of Curves and Surfaces de Manfredo do Carmo (1976).
Riemannian Geometry de Manfredo do Carmo, Francis Flaherty (1994)
Geometry from a Differentiable Viewpoint de John McCleary (1994)
A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry de Ethan D. Bloch (1996)
Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. d'Alfred Gray (1998)

Vegeu també

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Geometria diferencial

Curs de corbes i superfícies Arxivat 2007-01-22 a Wayback Machine. PDF
Galeria d'imatges Arxivat 2007-04-03 a Wayback Machine.
Notes sobre la géométrie diferencial Arxivat 2009-06-05 a Wayback Machine. PDF