Punt d'acumulació

Dins l'entorn de topologia, el concepte de punt d'acumulació o punt límit d'un conjunt en un espai captura la noció d'estar infinitament proper al conjunt sense necessàriament pertànyer a ell. Generalitza la noció de límit de .

DefinicióModifica

Donat un conjunt   i un punt   en un espai mètric  , diem que   és un punt d'acumulació per   si qualsevol ε-entorn de   sense   té intersecció no buida amb   .

És a dir, hi ha elements de   que estan ε-propers   i són diferents de   mateix (aquesta restricció no apareix quan es tracta de punts d'adherència). En aquesta definició podem veure que   pot estar o no en  .

És possible generalitzar el concepte a espais topològics reemplaçant els ε-veïnatges amb conjunts oberts.

Amb símbolsModifica

Es denota amb   al conjunt de punts límit de   (també anomenat conjunt derivat), i el podem definir d'acord amb:

 

ExempleModifica

L'interval   té com a punts d'acumulació a l'interval  .

Un conjunt finit no té punts d'acumulació, ja que no tindria sentit parlar del concepte "infinitament pròxim".

El conjunt de punts d'acumulació en   és igual al  , ja que   és dens a  .

  no té punt d'acumulació. Per tant, cada punt en   és aïllat.

Caracterització de conjunts tancatsModifica

  • Teorema:   és un conjunt tancat sii   .

Vàlid en espais mètrics i topològics.

Altres conseqüènciesModifica

Sigui E un subconjunt qualsevol en un espai topològic, llavors tenim:

Si   llavors hi ha una successió   que convergeix a  

Podem interpretar això com que per a cada element p de  , el conjunt derivat de E (així també s'anomena el conjunt dels punts d'acumulació), hi ha elements de E que formen una successió convergent cap a p dins de E , encara que el punt ni tan sols hi estigui comprès.

La demostració d'aquesta proposició és bastant natural.

BibliografiaModifica

  • Rudin, W. "Principles of Mathematical Analysis". McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054235-X
  • Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach Jr.. Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, p. 5-6. ISBN 0-387-90312-7. 
  • Wolfgang, F. "General Topology". Harrap, 1967, 23.