Límit

valor a què una funció o seqüència s'aproxima a mesura que l'entrada o índex s'apropa a un cert valor

En matemàtiques, la noció de límit és força intuïtiva, malgrat la seva formulació abstracta. Amb l'objectiu de donar-ne una introducció simple, en aquest article es tracta només el cas de les successions de nombres reals i el cas de les funcions reals d'una variable real.

Límit d'una successió

modifica

Introducció

modifica

Les successions són les funcions amb domini de definició , o, a vegades (sobretot en anàlisi de Fourier). Aquí tractarem només el primer cas.

Ara, cada enter és un punt aïllat; en altres mots, no podem acostar-nos a   mitjançant diferents punts de ℕ. Això implica que no es considera la idea de límit d'una successió en un enter finit: hi ha de fet només el seu valor.

Considerem doncs només la noció de límit per a  ; l'anomenarem «límit de la successió».

Definició, convergència, divergència

modifica
  • Cas del límit finit  : per a tot «descart de tolerància»   existeix un «enter de confidència»   tal que, per a tot n més gran que  , el valor   és prop de l per a menys de ε:  .

Quan existeix, el límit l és únic; s'escriu llavors  , i es diu que   tendeix (o també convergeix) cap a l.

Una successió que admet un límit finit és anomenada convergent. Hom té el teorema següent: Cada successió convergent és fitada.

  • Cas del límit infinit: distingim dos casos:

A)   i B)  .

Per a cada « llindar de tolerància »   cal que es pugui trobar un « enter de confidència »   a partir del qual els valors de   siguin superiors a   i els   es mantinguin positius -en el cas A)- i negatius -en el cas B)-:

  •   per a  
  •   per a  .

A més, en el cas A)   i en el cas B)  .

Se diu llavors que   tendeix (o divergeix) a: A)  , B)  .

NB: Es parla de successió convergent només quan una successió admet un límit finit, de successió divergent en els casos A) i B), de successió indeterminada en tots els altres casos.

NB: Es pot també parlar de límit   quan  . Això resumeix els casos A) i B) i, a més, el cas on   però els   poden canviar signe de manera arbitrària.

Sub-successions

modifica

Es parla de sub-successió de la successió   quan se seleccionen "només uns quants" elements de  : així es considera només una part de la informació. L'exemple més clàssic és aquell de les sub-successions   dels termes de rang parell, i   dels termes de rang imparell.

Més generalment, es designa amb el terme « extracció » cada aplicació   estrictament creixent. Llavors una sub-successió és una successió de la forma  .

Una propietat important és que una successió   admet límit (finit o infinit) si i només si cada sub-successió   admet el mateix límit.

Linealitat del passatge al límit

modifica

L'operació de passatge al límit és lineal en el sentit següent :

si (xn) i (yn) són unes successions reals convergents i tals que lim xn = L i lim yn = P, llavors

  • la successió (xn + yn) convergeix a L + P.
  • Si a és un nombre real, llavors la successió (a xn) convergeix a L.

Així, el conjunt C de totes les successions reals convergents és un espai vectorial real i l'operació de passatge al límit és una forma lineal real sobre C. Si (xn) i (yn) són unes successions reals convergents amb límits L i P respectivament, llavors la successió (xnyn) convergeix a LP. Doncs l'espai vectorial C és de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar   tal que la successió (xn/yn), amb   és bé definita i convergent amb límit L/P.

Cada successió convergent és fitada, puix que tots els termes, salvat un nombre finit, estan dins un interval al voltant del límit. Si (xn) és una successió de reals, fitada damunt i creixent (-o també fitada davall i decreixent-), llavors és convergent.

Cada successió de Cauchy de nombres reals és convergent, o més simplement: el conjunt dels nombres reals és complet.

Exemples

modifica
  • La successió (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) de nombres reals és convergent, amb límit 0.
  • La successió (3, 3, 3, 3, 3, ...) és convergent de límit 3.
  • La successió   no és convergent, però les seves sub-successions   i   ho són.
  • La successió (1, -2, 3, -4, 5, ...) té límit  .
  • La successió (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) és convergent, amb límit 1. Aquesta successió és un exemple de sèrie geomètrica.
  • Si a és un nombre real de valor absolut |a| < 1, llavors la successió de terme general an té límit 0.
  • Si a >0, llavors la successió de terme general a1/n té límit igual a 1.
  • La successió   convergeix a e i, per a tot nombre real (de fet complex) x, la successió   convergeix a  .

Límits de funcions

modifica

Convé distingir el cas del límit en un punt real finit i el cas del límit a l'infinit ("positiu" o "negatiu").

Límit d'una funció a un punt a

modifica

Definició

modifica

Sigui   :  


  =   ⇔ ∀ε>0, ∃   > 0 / ∣f(x)-L∣ < ε, ∀x ∈ (a-  ,a) ∪ (a, a+ )

Límits finits

modifica

Si   és una funció real de variable real i   un punt del domini de definició de f, es diu que   és el límit de   en   si :

  • intuïtivament,   s'acosta a   en la mesura que   s'acosta a   ;
  • amb més rigor, per a tot « descart de tolerància »   es pot trobar un « descart de confidència »   tal que, quan   és prop de   a menys de  , llavors   és prop de   a menys de  .

En símbols:  

(il·lustració 1)

En altres mots, es pot fer   tant prop de   que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de  .

En aquest cas, s'escriu  .

Límits infinits

modifica

Pot també succeir que al punt   la funció   no hi hagi límit finit, sinó infinit. Això vol dir que, s'acostant a   el valor de   "s'acosta" a   o a  ; és a dir, esdeven grand[Cal aclariment] quant se vol en valor absolut i es manten de signe positiu (cas de  ) o negatiu ( ).

La formulació matemàtica és llavors la següent : per a cada « llindar de tolerància »   es pot trobar un « descart de confidència »   tal que, dès que   és prop de   a menys de  , llavors   és major que   i   es manten de signe constant:   i:   per al cas del límit  ,   per al cas del límit  .

(il·lustració 2)

En altres mots, es pot fer   tant prop de   que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de  .

En aquest cas s'escriu   (o  ).

Infinit sense signe

modifica

NB: També per a les funcions de variable real (però és més utilitzat a l'anàlisi complexa), es pot parlar de límit  , quan  . Això resumeix els casos   i, a més, el cas on   però   pot canviar signe de manera arbitrària. Això no pot succeir per a funcions contínues en  .

Límits per l'esquerra, per la dreta

modifica

Pot succeir també que el comportament local de la funció   sigui different « per l'esquerra » de   (és a dir per a les  ) i « per la dreta » de   (és a dir per a les  ). Per exemple, una funció pot admetre un límit per la dreta i no per l'esquerra, o també admetre dos límits diferents de cada costat.

(il·lustració 3)

Hom és doncs portat a introduir les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra; la sola diferència amb els límits « normals » és que la proximitat de   amb   o   és demanada només per a un costat de  . Les definicions i notacions corresponents esdevenen doncs :

  • per al límit per l'esquerra :
  quan
 
  quan
 
  • per al límit per la dreta :
  quan
 
  quan
 

Les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra són menys resrictives que la noció clàssica de límit « bilateral » : una funció pot tenir un límit per l'esquerra i un límit per la dreta sense tenir un límit bilateral. De fet hom heu la propietat:

Una funció té un límit en un punt   si i només si té un límit per l'esquerra   i un límit per la dreta   i aquests són iguals :  

Límit d'una funció a l'infinit

modifica

Ara considerem el comportament d'una funció f -definida per a cada x prou gran en valor absolut- « als límits » del domini de definició, sigui quan   creix indefinidament (límit en  ), sigui quan   decreix indefinidament (límit en  ).

Es pot notar que, en aquest context, la noció de límit per la dreta o per l'esquerra no heu sentit; de fet els límits en   són sempre uns límits per l'esquerra i els límits en   són sempre uns límits per la dreta.

Límits finits

modifica
 
El límit de una funció a més infinit és L si, per a tot ε > 0 existeix S > 0; tal que |f(x)-L| < ε per a tot x > S.

Direm que la funció   admet el límit finit   en   si  s'acosta a   en la mesura que   esdeven més gran (o « tendeix a   »).

Matemàticament, això és traduït mitjançant el fet que, per a tot « descart de tolerància »   es pot trobar una « llindar de confidència »   després de la qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, de centre   i radi  , és a dir:   

En altres mots, es pot fer   tant prop de   que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran. En aquest cas s'escriu  .

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en   : es diu que   tendeix a   quan   tendeix a   si per a tot descart   es pot trobar una llindar   tal que:   , i s'escriurà  .

Límits infinits

modifica

Direm que la funció   admet el límit   en   si  esdevé arbitràriament gran en la mesura que   esdevé més gran (o « tendeix a   »). De més,   resta amb signe positiu ( ) o negatiu ( ) per a tals x. La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit  .

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància »   es pot trobar un «llindar de confidència»   després del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir   (cas  ),   (cas  ) o   (cas  ).

(il·lustració 5)

En altres mots, es pot fer   tant prop de   (o  ) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu   o  .

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en   : direm que la funció   admet el límit   en   si  esdeven arbitràriament gran en la mesura que   esdeven més gran en valor absolut, mes ha signe negatiu (o « tendeix a   »). De més,   resta amb signe positiu ( ) o negatiu ( ) per a tals x.

La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit  .

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància »   es pot trobar un « llindar de confidència »   abans del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir   (cas  ),   (cas  ) o   (cas  ).

(il·lustració 6)

En altres mots, es pot fer   tant prop de   (o  ) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu   o  .

L'operació de passatge al límit (o al límit per la dreta/esquerra) és lineal també per a les funcions de variable real, en el sentit següent: sigui x0 un punt de la dreta real acabada, és a dir un nombre real finit o  .

  • Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x0, llavors també la funció f+g hi admet límit, i aquest límit és L+P.
  • Si a és un nombre real, llavors la funció a f admet límit a x0, i aquest límit és aL.

Així, el conjunt K de totes les funcions que admeten límit a x0 és un espai vectorial real i l'operació de passar al límit és una forma lineal real sobre K.

Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x0, llavors també la funció fg hi admet límit, i aquest límit és LP, així l'espai vectorial K es de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar un interval al voltant de x0 on f/g està ben definida; el seu límit a x0 és L/P.

Exemples

modifica
  • El límit de   quan x tendeix a   és igual a 0.
Clau de la demostració per a  : si  , llavors  .
  • El límit per la dreta de   quan x tendeix a 0 (0+) és  .
Clau de la demostració: si  , llavors  .
  • El límit per l'esquerra de   quan x tendeix a 0 (0-) és  .
  • El límit (bilateral) de   quan x tendeix a 0 és   sense signe, és a dir   tendeix a 0 quan x tendeix a 0, puix que  . Recordeu que

  sense signe és més utilitzat en anàlisi complexa. Vegeu també la nota anterior.

  • El límit de   quan x tendeix a 3 és igual a 9 (En aquest cas la funció és definita i contínua en aquest punt, i el valor de la funció és igual al seu límit).
Clau de la demostració: si  , llavors  .
  • El límit de   quan x tendeix a 0 és igual a 1.
  • El límit de   quan x tendeix a 0 és igual a 2a.
  • El límit per la dreta de   quan x tendeix a 0 és igual a 1; el límit per l'esquerra és igual a -1.
  • El límit de   quan x tendeix a 0 és igual a 1.
  • El límit de   quan x tendeix a 0 és igual a 0.
  • El límit de   quan x tendeix a 0 és igual a -1/2.
  • El límit de   quan x tendeix a 0 és igual a 2.
  • El límit de   quan x tendeix a 0 és igual a 1.

Lligam entre els límits de successions i de funcions

modifica

Es pot provar que   per a cada successió   tal que  , és a dir per a cada successió convergent a  .

Vegeu també

modifica

Bibliografia

modifica

Perelló, Carles. Càlcul infinitesimal. Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994. ISBN 84-7739-518-7.