Criteri M de Weierstrass

El criteri M de Weierstrass, de vegades anomenat prova M de Weierstrass és, en matemàtiques, una condició suficient per a assegurar que una sèrie $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ de funcions definides en un conjunt $A$ és uniformement convergent. No cal que $A$ sigui un espai topològic ni que les funcions siguin contínues, encara que aquest es el cas d'utilització més freqüent.

Enunciat

Criteri M de Weierstrass . Suposem que $\{f_{n}\}$ és una successió de funcions reals o complexes definides en un conjunt $A$ i que existeix una successió de nombres positius $M_{n}$ de manera que

$\forall n\geq 1,\forall x\in A:\ |f_{n}(x)|\leq M_{n},$

$\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}<\infty$.

Aleshores la sèrie

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

convergeix uniformement a $A$.

Comentaris

• En les condicions de l'enunciat es té també que la sèrie $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ és absolutament convergent. Això es dedueix del mateix enunciat.
• El nom en alemany d'aquest enunciat és Weierstraßsches Majorantenkriterium, i aquest sembla l'origen de la lletra M que apareix en el nom que s'usa en la majoria de llengües. Per això també tindria sentit d'anomenar-lo criteri de la majorant de Weierstrass.

Referències

• Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1976. 
• Whittaker; Watson. A Course in Modern Analysis. Fourth. Cambridge University Press, 1927, p. 49.