Criteri de Sylvester

En matemàtiques el criteri de Sylvester és una condició necessària i suficient per determinar si una matriu simètrica o hermítica és definida positiva.[1]

Donada una forma bilineal simètrica definida per una matriu i pertanyent al conjunt dels nombres reals o bé una matriu hermítica, es considera que aquesta és definida o no per un signe (negatiu o positiu) de forma total o parcial en funció dels signes de la sèrie de menors principals de la pròpia matriu:

  • Si tots els menors principals () de la matriu són majors que zero (definits positius) la matriu és definida positiva.
  • Si tots els menors principals () de la matriu són majors o iguals que zero (semidefinits positius), la matriu és semidefinida positiva.
  • Si tots els menors parells ( sent i un numero parell) són majors que zero i els imparells ( sent i un numero imparell) són menors que zero, la matriu és definida negativa.
  • Si tots els menors parells ( sent i un numero parell) són majors o iguals a zero i els imparells ( sent i un numero imparell) són menors o iguals a zero, la matriu és semidefinida negativa.
  • Si tots els menors principals () de la matriu són iguals a zero (nuls), la matriu és nul·la.
  • Si la sèrie de menors no segueix cap dels criteris anteriors, la matriu no té un signe definit.

Referències modifica

  1. Horn, Roger A. Matrix analysis. 2a edició. Cambridge: Cambridge University Press, 2012. ISBN 978-1-139-77600-4.