Diagonalització de Cantor
La diagonalització de Cantor, també coneguda com a mètode diagonal, és una prova matemàtica albirada per Georg Cantor per a demostrar que el conjunt dels nombres reals no és numerable.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Diagonal_argument_01_svg.svg/220px-Diagonal_argument_01_svg.svg.png)
Aquesta demostració de la impossibilitat de comptar els nombres reals no va ser la primera, però sí que és més senzilla i elegant que aquesta. Posteriorment aquesta prova va inspirar altres demostracions, conegudes com a argument diagonal per l'analogia amb aquesta demostració.
Nombres reals
modificaLa prova original de Cantor mostra que l'interval [0,1] no és numerable.[1] S'estén a tots els reals, ja que és possible equipotenciar aquests a l'interval.
La demostració és per reducció a l'absurd:
- Suposi's que l'interval [0,1] és infinit numerable.
- Es podria elaborar una seqüència dels nombres, (r1, r₂, r₃…)
- Se sap que els reals entre 0 i 1 poden ser representats solament escrivint els seus decimals.
- Es col·loquen els nombres en la llista (no necessàriament en ordre). Considerant els decimals periòdics, com 0.499... = 0.500..., com els que tenen infinits nous.
Es podria obtenir aleshores una seqüència com la del següent exemple:
- r₁ = 0. 5 1 0 5 1 1 0...
- r₂ = 0. 4 1 3 2 0 4 3...
- r₃ = 0. 8 2 7 5 0 2 6...
- r₄ = 0. 2 3 3 9 1 2 6...
- r₅ = 0. 4 1 0 7 2 4 6...
- r₆ = 0. 9 9 3 7 8 3 8...
- r₇ = 0. 0 1 0 5 1 3 5...
- ...
Ací hi ha tots els nombres reals entre 0 i 1. Ara es construeix un nombre x que hauria d'estar en la llista. Per a això es fa servir els nombres de la diagonal.
- r₁ = 0. 5 1 0 5 1 1 0...
- r₂ = 0. 4 1 3 2 0 4 3...
- r₃ = 0. 8 2 7 5 0 2 6...
- r₄ = 0. 2 3 3 9 1 2 6...
- r₅ = 0. 4 1 0 7 2 4 6...
- r₆ = 0. 9 9 3 7 8 3 8...
- r₇ = 0. 0 1 0 5 1 3 5...
- ...
- El nombre x està definit així: al dígit xk li correspon el k-èssim dígit de rk més 1 (si fóra un 9, se li assignaria el 0).
En l'exemple,rk = 0.5179235..., i per tant x = 0.6280346...
El nombre x és clarament un de real, però on és x? Si afirméssim que x es troba en el n-èssim lloc de la llista, no seria cert, puix que el n-èssim dígit de l'element rn és diferent del de x.
- Llavors, aquesta no és una llista completa dels reals en l'interval [0,1].
- Existeix una contradicció, per suposar que aquests nombres són infinits numerables.
Per a estendre aquest resultat a R s'ha d'establir una relació bijectiva entre aquest interval i els reals. Açò és possible gràcies a una funció com aquesta:
definida per
Amb açò es pot dir que hi ha tants nombres reals com reals entre 0 i 1.
Referències
modifica- ↑ Gardner, Martin. «3. Aleph-cero y aleph-uno». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 53. ISBN 9788491811503 [Consulta: 26 gener 2022]. «[La prueba de la diagonal de Cantor] Prueba que el conjunto de los números reales (racionales más irracionales) tampoco es numerable.»