Obre el menú principal

En la teoria dels conjunts, es diu que dos conjunts E i F són equipotents, i es nota EF, si existeix una bijecció .

Per definició, dos conjunts (finits o no) tenen la mateixa cardinalitat (el mateix nombre d'elements) si són equipotents.

Propietats de l'equipotènciaModifica

L'equipotència té les propietats següents:

  • És simètrica: essent dos conjunts E i F, si EF, aleshores FE (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció  ; aleshores   és una bijecció  )
  • És transitiva : essent tres conjunts E, F i G, si EF i FG, aleshores EG (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció   i una bijecció  ; aleshores la composició   és una bijecció)

Açò prova que dins tot conjunt   de conjunts, la relació binària d'equipotència és una relació d'equivalència, i que el conjunt quocient   pot ésser identificat al conjunt dels cardinals dels elements de  .
Per exemple, si   és el conjunt de les parts d'un conjunt  , l'equipotència és una relació d'equivalència dins  .

Tanmateix, no és possible de dir que l'equipotència és una relació d'equivalència dins el conjunt de tots els conjunts: dins la teoria clàssica dels conjunts, el conjunt de tots els conjunts no existeix pas.

Teorema de Cantor-BernsteinModifica

El teorema de Cantor-Bernstein (o teorema de Cantor-Bernstein-Schröder) és una caracterització de l'equipotència. S'enuncia així:

Essent dos conjunts E i F, si existeixen dues injeccions   i  , aleshores EF.

Exemples i contra-exemplesModifica

  • El conjunt   dels enters naturals i el conjunt dels enters naturals parells, notat ací  , són equipotents: l'aplicació   és bijectiva. De fet els conjunts que són equipotents amb ℕ es diu que són numerables.
  • Cas dels intervals del conjunt   dels nombres reals
    • Sien dos reals  ,   tals que  , i els intervals
       ,  
      • Els intervals   i   són equipotents: l'aplicació   és bijectiva.
      • Anàlogament, els intervals   i   són equipotents.
    • Els intervals   i   són equipotents:
      • l'aplicació   és injectiva (en fet, és la injecció canònica).
      • l'aplicació   és injectiva.
      • l'equipotència de   i   és, aleshores, conseqüència del teorema de Cantor-Bernstein.
    • Els intervals   i   són equipotents:
      l'aplicació   és bijectiva.
    • En fet, es pot generalitzar açò: dos intervals de   qualssevulla (posat que cada un contenga almenys dos punts) són equipotents.
  • Essent un conjunt  , el conjunt   de les seves parts és equipotent al conjunt   de les funcions  .
    Per provar-ho, s'associa a tota part A de   la seva funció característica   definida així: per a tot element x de  ,   si   i   si  .
    L'aplicació   és bijectiva : si f és una funció   i si es defineix  , és clar que A es l'única part de   tal que  .
  • Segons un teorema clàssic de Cantor, el conjunt   dels enters naturals no és equipotent al conjunt   dels reals.
  • Semblantment, un conjunt   no és equipotent al conjunt   de les seves parts.
    Per provar-ho (per reducció a l'absurd), suposem l'existència d'una bijecció   i definim el conjunt  .
    Com que   i f és bijectiva, existeix un element (únic)   del conjunt   tal que  .
    Llavors:  , una contradicció.
(observeu que en aquesta demostració, no hem fet servir la unicitat de  : així, hem provat que no existeix cap suprajecció  ).

Cas dels conjunts finits i dels conjunts infinitsModifica

Conjunts equipotents a un conjunt finitModifica

Si E és un conjunt finit, els conjunts equipotents a E són aquells conjunts finits que tenen el mateix nombre d'elements que E.

Conjunts equipotents a un conjunt infinitModifica

Tot conjunt equipotent a un conjunt infinit és també infinit. Però se sap d'ençà del segle XIX, per les obres de Georg Cantor, que hi ha conjunts infinits que no són equipotents, valent a dir que no tenen la mateixa cardinalitat (cf. ací a sobre).

Vegeu tambéModifica