Equipotència

En la teoria dels conjunts, es diu que dos conjunts E i F són equipotents, i es nota E ≈ F, si existeix una bijecció $f:E\to F$ .

Per definició, dos conjunts (finits o no) tenen la mateixa cardinalitat (el mateix nombre d'elements) si són equipotents.

Propietats de l'equipotència

L'equipotència té les propietats següents:

És reflexiva: per a tot conjunt E, E ≈ E (existeix almenys una bijecció de E vers E : l'aplicació idèntica de E)

És simètrica: essent dos conjunts E i F, si E ≈ F, aleshores F ≈ E (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció $f:E\to F$ ; aleshores $f^{-1}$ és una bijecció $F\to E$ )

És transitiva: essent tres conjunts E, F i G, si E ≈ F i F ≈ G, aleshores E ≈ G (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció $f:E\to F$ i una bijecció $g:F\to G$ ; aleshores la composició $g\circ f:E\to G$ és una bijecció)

Açò prova que dins tot conjunt ${\mathcal {E}}$ de conjunts, la relació binària d'equipotència és una relació d'equivalència, i que el conjunt quocient ${\mathcal {E}}/\approx \quad$ pot ésser identificat al conjunt dels cardinals dels elements de ${\mathcal {E}}$ .
Per exemple, si ${\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(\Omega )$ és el conjunt de les parts d'un conjunt $\Omega$ , l'equipotència és una relació d'equivalència dins ${\mathcal {E}}$ .

Tanmateix, no és possible de dir que l'equipotència és una relació d'equivalència dins el conjunt de tots els conjunts: dins la teoria clàssica dels conjunts, el conjunt de tots els conjunts no existeix pas.

Teorema de Cantor-Bernstein

El teorema de Cantor-Bernstein (o teorema de Cantor-Bernstein-Schröder) és una caracterització de l'equipotència. S'enuncia així:

Essent dos conjunts E i F, si existeixen dues injeccions $i:E\to F$ i $j:F\to E$ , aleshores E ≈ F.

Exemples i contra-exemples

El conjunt $\mathbb {N}$ dels enters naturals i el conjunt dels enters naturals parells, notat ací ${\mathcal {P}}$ , són equipotents: l'aplicació $\mathbb {N} \to {\mathcal {P}},\,n\mapsto 2\,n$ és bijectiva. De fet els conjunts que són equipotents amb ℕ es diu que són numerables.
Cas dels intervals del conjunt $\mathbb {R}$ dels nombres reals
- Sien dos reals $a$ , $b$ tals que $a<b$ , i els intervals
  $[a,\,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}$ , $\,]a,\,b[\,=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}$
  - Els intervals $[a,\,b]$ i $[0,\,1]$ són equipotents: l'aplicació $[a,\,b]\to [0,\,1],\,x\mapsto {\frac {x-a}{b-a}}$ és bijectiva.
  - Anàlogament, els intervals $\,]a,\,b[\,$ i $\,]0,\,1[\,$ són equipotents.
- Els intervals $\,]0,\,1[\,$ i $[0,\,1]$ són equipotents:
  - l'aplicació $i:\,]0,\,1[\,\to [0,\,1],\,x\mapsto x$ és injectiva (en fet, és la injecció canònica).
  - l'aplicació $j:[0,\,1]\to \,]0,\,1[\,,\,x\mapsto {\frac {x+1}{3}}$ és injectiva.
  - l'equipotència de $\,]0,\,1[\,$ i $[0,\,1]$ és, aleshores, conseqüència del teorema de Cantor-Bernstein.
- Els intervals $\mathbb {R} =\,]-\infty ,\,+\infty [\,$ i $\,]-1,\,+1[\,$ són equipotents:
  l'aplicació $\mathbb {R} \to \,]-1,\,+1[\,,\,x\mapsto {\frac {x}{1+|x|}}$ és bijectiva.
- En fet, es pot generalitzar açò: dos intervals de $\mathbb {R}$ qualssevulla (posat que cada un contenga almenys dos punts) són equipotents.

Essent un conjunt $\Omega$ , el conjunt ${\mathcal {P}}(\Omega )$ de les seves parts és equipotent al conjunt $\{0,\,1\}^{\Omega }$ de les funcions $\Omega \to \{0,\,1\}$ .
Per provar-ho, s'associa a tota part A de $\Omega$ la seva funció característica $\chi _{A}:\Omega \to \{0,\,1\}$ definida així: per a tot element x de $\Omega$ , $\chi _{A}(x)=1$ si $x\in A$ i $\chi _{A}(x)=0$ si $x\notin A$ .
L'aplicació ${\mathcal {P}}(\Omega )\to \{0,\,1\}^{\Omega },\,A\mapsto \chi _{A}$ és bijectiva : si f és una funció $\Omega \to \{0,\,1\}$ i si es defineix $A=\{x\in \Omega \mid f(x)=1\}$ , és clar que A es l'única part de $\Omega$ tal que $\chi _{A}=f$ .

Segons un teorema clàssic de Cantor, el conjunt $\mathbb {N}$ dels enters naturals no és equipotent al conjunt $\mathbb {R}$ dels reals.

Semblantment, un conjunt $\Omega$ no és equipotent al conjunt ${\mathcal {P}}(\Omega )$ de les seves parts.
Per provar-ho (per reducció a l'absurd), suposem l'existència d'una bijecció $f:\Omega \to {\mathcal {P}}(\Omega )$ i definim el conjunt $A=\{x\in \Omega |x\notin f(x)\}$ .
Com que $A\in {\mathcal {P}}(\Omega )$ i f és bijectiva, existeix un element (únic) $\ x_{0}$ del conjunt $\Omega$ tal que $\ f(x_{0})=A$ .
Llavors: $x_{0}\in A\iff x_{0}\notin f(x_{0})\iff x_{0}\notin A$ , una contradicció.

(observeu que en aquesta demostració, no hem fet servir la unicitat de

x_{0}

: així, hem provat que no existeix cap suprajecció

f:\Omega \to {\mathcal {P}}(\Omega )

).

Cas dels conjunts finits i dels conjunts infinits

Conjunts equipotents a un conjunt finit

Si E és un conjunt finit, els conjunts equipotents a E són aquells conjunts finits que tenen el mateix nombre d'elements que E.

Conjunts equipotents a un conjunt infinit

Tot conjunt equipotent a un conjunt infinit és també infinit. Però se sap d'ençà del segle xix, per les obres de Georg Cantor, que hi ha conjunts infinits que no són equipotents, valent a dir que no tenen la mateixa cardinalitat (cf. ací a sobre).