Obre el menú principal
Elements de P (P (P (P ({})))) en Diagrama de Hasse.

En matemàtiques, un diagrama de Hasse és una representació gràfica simplificada d'un conjunt parcialment ordenat finit. Això s'aconsegueix eliminant informació redundant. Per a això es dibuixa una aresta ascendent entre dos elements només si un segueix a un altre sense haver altres elements intermedis.

En un diagrama de Hasse s'elimina la necessitat de representar:

  • Cicles d'un element, ja que s'entén que una relació d'ordre parcial és reflexiva.
  • Arestes que es dedueixen de la transitivitat de la relació.

DefinicióModifica

  • De dos membres x i y d'un conjunt parcialment ordenat S que « y segueix x » si x y i no hi ha element de S entre x i y.

L'ordre parcial és llavors precisament la clausura transitiva de la relació de seguir .

  • El diagrama de Hasse de S es defineix com el conjunt de tots els parells ordenats ( x , y ) tals que y segueix x , és a dir, el diagrama de Hasse es pot identificar amb la relació de seguir .

ExempleModifica

Concretament, es representa cada membre de S com un punt negre a la pàgina i es dibuixa una línia que vagi cap amunt de x a y si y segueix x.

Per exemple, sigui el conjunt A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}(tots els divisors de 60). Aquest conjunt està ordenat parcialment per la relació de divisibilitat. El seu diagrama de Hasse pot ser representat de la manera següent:

Per exemple, en el diagrama de Hasse del Poset de tots els divisors d'un nombre n , ordenats parcialment per divisibilitat, n mateix està en el límit del diagrama, el número 1 estaria en el fons, i els divisors més petits (cosins) seguirien l'element inferior.

Relació amb els grafsModifica

Un diagrama de Hasse es pot veure també com un graf al qual se li lleven tots els seus bucles i els seus arestes que poden deduir amb la propietat transitiva i propietat reflexiva.

La dificultat de trobar un bon diagrama de HasseModifica

Les relacions «seguir» queda definida de manera única a partir de la relació d'ordre inicial. Això fa que les arestes del diagrama de Hasse i els punts que connecten quedin determinats també de forma única. Però hi ha un problema addicional: trobar una ubicació adequada per als vèrtexs que pugui reflectir alguna de les simetries subjacents. En aquest sentit, trobar un bon diagrama és difícil.

S'han proposat diversos algorismes per a dibuix de «bons» diagrames, però avui dia la seva construcció segueix basant-se en una forta intervenció humana. De fet, fins i tot un humà necessita bastant pràctica per elaborar-los.

Els següents exemples corresponen a diagrames de Hasse d'una mateixa relació d'ordre:

     

NotaModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Diagrama de Hasse